目录

0 摘要

1 introduction

2 related work

2.1 Minimizing distortion

2.2 Optimizing cuts

2.2.1 Cuts for remeshing applications

2.2.2 Adding cuts while minimizing distortion：

2.2.3 Generating cuts by mesh partitioning

2.2.4 Bypassing the need for cuts：

2.2.5 Existing tools for manual cut placement： (Back to Top)

4 framework implementation and results

4.1 Implementation，performances， 参数

4.2 初始化 && 最终结果  (Back to Top)

4.3 非人工模式 &&  人工模式（含对比）

4.4 两个重要交互功能

4.4.1 Boundary rectangles (Back to Top)

4.4.2 Removing self-overlaps.

4.5 其他功能

4.5.1 UVmaps for quad meshes && irregularmeshes (Back to Top)

4.5.2  Cut length vs. number ofcuts (Back to Top)

4.6 与[Sorkine et al. 2002]对比

5 limitation and conclusion (Back to Top)

0 摘要

1. first --seam（离散的） && distortion（连续的）同时优化:
2. 交互：
   

   1. Bounding boxes: packing islands(control the placement of the parameterization patches in the UV space)
   2. Painting of regions: seam region
   3. separate overlapping regions
   4. move vertices,
   5. cut mesh parts,
   6. join seams,
   7.  上述交互：要么强约束：加入到能量函数 要么软约束：引导优化方向

3. 其他方法：trial-and-error(试错型)：cut-distortion (不满足要求，再重新cut，重复)

1 introduction

1. 核心：Cut- 从现有的mesh edge 入手
   1. 单独每个三角面片分割，再seam融合（most,形式：E中的sparsity inducing norm）
2. 实质：edge宽松的二分类问题：
   

   1. 刚开始：介于二者之间，优化后，属于二者之间
   2. Edge: seam or regular edge or 介于二者之间

2 related work

2.1 Minimizing distortion

1. isometric：angles and areas
2. Distortion measure:
   

   1. 保角：UV变量的二次表达——稀疏最小二乘问题-难
   2. 角&面积——非线性，非凸
   3. local/global optimization[Liu et al. 2008]——同时考虑、权衡isometric &&face map 后的不连续性[Liu et al. 2008]   本文:借鉴local/global optimization：为每个三角面片的每个顶点单独指定uv变量--实现uv空间三角面片的分离（detaching）
   4. 优化对象Iteratively updated convex proxy（non-convex）——考虑 isometric && inversion-free

3. 本文：同时考虑--意义
   

   1. Cut: spread the error equally over the surface,
   2. Distortion: concentrate the error in a discrete set (the cut vertices) and leave it at zero everywhere else,

2.2 Optimizing cuts

1. 第一类：先确定cut，再计算map（disk-topology）
   1. accept cuts as input and compute the mapping of a surface that has the topology of one or several disks
2. 其他方法：
   

   1. 限制the shape of cut
   2. 优化整个2D patch shape （free-boundary）
   3. 当前：避免local/global self-inersections (boundary-free && 降低isometric distortion)

3. 另一种理解：Cut--等效于参数化过程的一部分【即，surface 参数化过程中，解决cut问题】，分为三类：

2.2.1 Cuts for remeshing applications

1. 实质：以remesh（quadrilateral remeshing）为导向的参数化：cut的两对应边，在UV空间，相差旋转（0.5PI的整数倍） &&  平移变换   此种情况，cut被视作griddable(利用grid可以实现seamlessly traverse)——此时的参数化交做： seamless

   1. 此类，有些不考虑seam的位置--[Bommes et al. 2009] and the survey [Bommes et al. 2013]
   2. 一些考虑cone singularities 锥奇点位置（griddable cut的端点）——作为优化目标
   3. 一些考虑griddable cut的位置(包括straightness，alignment, and shortness )

2. 评价
   

   1. cut的约束只和remesh有关
   2. 然而，顾及texture UV的展开应考虑：
   3. trading Gaussian curvature inside patches for line curvature at their boundary,reducing distortion.

2.2.2 Adding cuts while minimizing distortion：

1. 核心：着重关注降低局部变形

   1. 法1：greedily增加cut，以减低变形
   2. 法2：通过分析Gaussian curvature and visibility，确定较好的cut位置

2. 实质：在cut优化的过程中，部分考虑变形，依赖于一种启发式的方式，非全局（ours）

2.2.3 Generating cuts by mesh partitioning

1. 实质：mesh划分程多个disk-topology的patch 因此，cut = patch boundary
2. 相关mesh划分方法：（聚类，种子点法）

   

3. 评价：这是间接法，无法得到optimal UV maps 进一步，上述方法得到的结果：

• patches--smaller &&numerous
• cut发生在不同类的patch之间，而人工编辑的话，同种patch也是允许cut的

2.2.4 Bypassing the need for cuts：

1. 实质：绕过去找到good cut的需求

   1. 方式1：直接同时定义2D 参数化和重新纹理映射 like direct painting on 2D textures and redering
   2. 方式2：降低cut的不利影响，即“差的cut，也没啥坏结果”

2.2.5 Existing tools for manual cut placement： (Back to Top)

1. 大部分需要人工辅助

   1. distortion minimization 自动化难度不大；
   2. placement of cut难以实现自动化--本文：该步骤半自动，无需全人工

2. 缺点：
   

   1. 耗时
   2. Mesh irregular---难度变大（select consxecutive edges--edge loops）本文：不依赖mesh 连续性的规则

4 framework implementation and results

4.1 Implementation，performances， 参数

1. 线性搜索--Pardiso solver
2. 运行时间与mesh size线性相关
   

   1. 一次迭代 15ms/3k面片
   2. 100ms/20k

3. 交互调整的参数： sigma && lamda
   

   1. sigma： 初始化1 ，后续 乘 2/0.5
   2. lamda: 初始化1 后续调整介于[0,1]区间 （distortion && cut的平衡因子）

4.2 初始化 && 最终结果  (Back to Top)

1. X(uv坐标)初始化：

   1. placing the triangles individually in the plane with a rigid transformation（transformation不影响效率）（如下图第二个）
   2. 好处：高效（迭代次数较少），简单
   3. 本文算法对初始方式（下述3种）不敏感

2. Finalizing the Uvmap
   

   1. 要求：连续 && patch 不跨过seam
   2. 方法(保证连续)：对于每一对cornerseparation 较小的corner(Es< 0.5)，根据average 整合
   3. 最后UV空间scale and translate into [0,1]^2

4.3 非人工模式 &&  人工模式（含对比）

1. Our Unassisted cutting VS UV Master(ZBrush’s UVMaster [Pixologic 2017]，

   1. 大量人工交互，多次重复指定cut的可选/禁忌区)
   2. 结果：前者Cut along the edges   VS 后者random

2. Assisted cutting:
   

   1. 本文：用户交互选择cut edge（click or paint ）---更改edge对应的two pairs of corner的权重（E_seperation）——实验证明：指定一条edge(被cut)作为”种子点“，就足够得到较好的结果
   2. 用户还可以直接操作UV 碎块（deform tear and attach the UV island）

4.4 两个重要交互功能

4.4.1 Boundary rectangles (Back to Top)

1. 意义：UV空间高效利用 && aid packing
2. 本文：提供交互接口——画 && 编辑 bounding rectangle
3. 实现：增加一个soft constraint （不能在指定的矩形外部），具体为给目标函数增加：beta(=100，权重)*B
   1. B :针对与boundary相关的UV 坐标，根据 (10)求cost，再求和

      

4.4.2 Removing self-overlaps.

1. Global-overlap     &&   local-overlap (triangle flips)
2. 已有的做法
   

   1. Automatic：[Smith and Schaefer 2015] :
      1. 考虑global-overlap
      2. 具体做法：参数化的初始解，保证overlap-free，后续优化过程也保证满足该条件---缺点：会极大得缩小解空间（增加了额外约束）
   2. 交互工具：依赖于用户来实现
      1. 效果：比直接去除overlap快；但是效果不好，还是需要后续人工调整
      2. 用户可以随时调整目前global overlap情况

3. 本文：
   

   1. 核心：同[Sorkine et al. 2002]greedy策略
   2. 具体做法：
      1. 采用宽度优先顺序，从”种子面片“开始，遍历triangle——依次调整UV空间三角面片的位置，保证不会与先前遍历的三角面片重叠——得到一个patch
      2. 当满足终止条件后，再选择新的”种子面片“
   3. 评价：此种基于overlap的三角面片位置调整，只影响boundary？？？

4.5 其他功能

4.5.1 UVmaps for quad meshes && irregularmeshes (Back to Top)

1. 针对quadrilateral or polygonal meshes：将其三角化（distortion measure是基于三角面片的），同时给三角化过程新生成的边增加权重（100），使得在优化过程中那些边不被cut
2. 针对irregular mesh(irregular face && non standard topologies)--本文方法不受影响（因为使用triangle soup——所有的顶点copies）

4.5.2  Cut length vs. number ofcuts (Back to Top)

1. Cut number---number of vertex duplication
2. 做法：

• 现有能量函数，在 seperation measure 中用cut长度来加权
• 若想引入将cut length 转换为cut number, seperation measure 中的权值都为1（代替length）

4.6 与[Sorkine et al. 2002]对比

1. 侧重点： low distortion  && small number of cuts
2. greedy manner
   

   1. 初始状态：选择一个参数化后，符合等距要求的triangle Tri0
   2. 迭代：不断往Tri0附加triangle，得到一个patch(终止条件：distortion bound && self-intersection)

3. [Sorkine et al. 2002]结果：over-segmented 很多patch含单个triangle,或短条状triangle

5 limitation and conclusion (Back to Top)

1. 核心点：cut && distortion --放在一个能量函数中，同时考虑 （以前的工作：要么二选一，要么先后进行）

1. 后续改进点（不足）

   1. mesh scale < 20k
   2. 降低问题的自由度（当前所有edge作为候选cut，后续，可以缩小候选空间）
   3. 加速：Another direction for future work is adapting acceleration techniques [Kovalsky et al. 2016; Liu et al. 2017] to our formulation.
   4. 两个问题还未考虑--未自动化实现，目前需要交互（思路：融入到能量函数）：
   5. Global overlaps
   6. Packing of charts(紧凑性排布？？)