1 超立方体

百度百科对超立方体的描述：超立方体是数学中立方体的四维类似物，所谓的点动成线，线动成面，面动成体。在四维空间(非三维-时间概念)中，立方体的移动形成四维的超立方体，由无数个立方体所组成的，具有四维的观念。

在几何学中，超立方体是立方体的四维类比，有8个立方体胞。四维超正方体之于立方体，就如立方体之于正方形。它是四维欧式空间中6个四维凸正多胞体之一。

那么它的概念图呢，就长成下面这样。

下面解释一下这个概念图是怎么来的。拿我们三维空间举例子，我们就生活在三维空间，我们眼中看到的景象全部都是物体在我们视网膜上的投影，也就是说我们眼中的其实是三维空间的物体到二维平面上的投影。借助这个思路，虽然我们没办法想象超立方体是什么样的，但是我们可以借助投影，将四维下的超立方体投影到三维空间下，我们不就能看见了么。所以上面这个概念图，它就是超立方体在三维空间下的投影。

2 Processing实现可视化

知道了它是投影来的，我们就可以用一些工具，来模拟一下这个投影，这里我用的是Processing，利用旋转矩阵旋转超立方体，运行出来就是下面这个样子。

下面是代码，有兴趣的朋友可以自己下载一个Processing，运行一下玩一玩。

theta = 0
points = []
def setup():size(1000, 800, P3D)global points# 四维空间下超立方体16个顶点的坐标points =[[-100, -100, -100, 100],[100, -100, -100, 100],[100, 100, -100, 100],[-100, 100, -100, 100],[-100, -100, 100, 100],[100, -100, 100, 100],[100, 100, 100, 100],[-100, 100, 100, 100],[-100, -100, -100, -100],[100, -100, -100, -100],[100, 100, -100, -100],[-100, 100, -100, -100],[-100, -100, 100, -100],[100, -100, 100, -100],[100, 100, 100, -100],[-100, 100, 100, -100]]def draw():global theta, pointsbackground(0)translate(width/2, height/2)rotateY(-PI/2)projected3d = []for v in points:stroke(255)strokeWeight(16)noFill()# 一堆旋转矩阵rotationXY = [[cos(theta), -sin(theta), 0, 0],[sin(theta), cos(theta), 0, 0],[0, 0, 1, 0],[0, 0, 0, 1]]rotationXZ = [[cos(theta), 0, -sin(theta), 0],[0, 1, 0, 0],[sin(theta), 0, cos(theta), 0],[0, 0, 0, 1]]rotationXW = [[cos(theta), 0, 0, -sin(theta)],[0, 1, 0, 0],[0, 0, 1, 0],[sin(theta), 0, 0, cos(theta)]]rotationZW = [[1, 0, 0, 0],[0, 1, 0, 0],[0, 0, cos(theta), -sin(theta)],[0, 0, sin(theta), cos(theta)]]rotationYW = [[1, 0, 0, 0],[0, cos(theta), -sin(theta), 0],[0, 0, 1, 0],[0, sin(theta), 0, cos(theta)]]rotationYZ = [[1, 0, 0, 0],[0, cos(theta), -sin(theta), 0],[0, sin(theta), cos(theta), 0],[0, 0, 0, 1]]v = matmul(rotationXY, v)v = matmul(rotationZW, v)# 投影w = 100 / (200 - v[3])projection = [[w, 0, 0, 0],  [0, w, 0, 0],[0, 0, w, 0]]v = matmul(projection, v)projected3d.append(v)point(v[0], v[1], v[2])for i in range(4):connect(0, i, (i+1) % 4, projected3d)connect(0, i+4, ((i+1) % 4)+4, projected3d)connect(0, i, i+4, projected3d)for i in range(4):connect(8, i, (i+1) % 4, projected3d)connect(8, i+4, ((i+1) % 4)+4, projected3d)connect(8, i, i+4, projected3d)for i in range(8):connect(0, i, i+8, projected3d)theta += 0.03# 连接点
def connect(offset, i, j, points):i, j = i + offset, j + offsetstroke(255)strokeWeight(1)line(points[i][0], points[i][1], points[i][2],points[j][0], points[j][1], points[j][2])# 矩阵乘法
def matmul(a, b):rowsA, colsA = len(a), len(a[0])res = []for i in range(rowsA):n = 0for j in range(colsA):n += a[i][j]*b[j]res.append(n)return res

3 拓展知识（图论）

定义：k−k-k−维立方体或超方体QkQ_kQk是一个简单图，其顶点是分量取自{0,1}\{0,1\}{0,1}的所有k−k-k−元组，边是恰在一个位置上取不同值的kkk元组对。QkQ_kQk的一个j−j-j−维子立方体是同构与QjQ_jQj的QkQ_kQk的子图。

我们知道的正方体就是Q3Q_3Q3，上面讲的超立方体就是Q4Q_4Q4

超方体是一种很自然的计算机结构。如果处理器对应于QkQ_kQk中的邻接节点，则它们之间可以直接通信。用来命名顶点的kkk元组可以视作处理器的地址

超方体的结构：QkQ_kQk中顶点的奇偶性是由该顶点的名字中包含的1的个数的奇偶性而决定的。QkQ_kQk中每条边有一个偶端点和一个奇端点。因此，偶顶点构成一个独立集，奇顶点也构成一个独立集，进而QkQ_kQk是一个二部图。

kkk元组的每个分量可以取两个值，所以n(Qk)=2kn(Q_k)=2^kn(Qk)=2k。对于一个顶点，确定其名字中的一个位置并将该位置的值修改成另一个值，就可以得到它的一个相邻顶点。于是，QkQ_kQk是k−k-k−正则的。由于含有nnn个顶点的k−k-k−正则图有nk/2nk/2nk/2条边，所以e(Qk)=k2k−1e(Q_k)=k2^{k-1}e(Qk)=k2k−1

4 参考资料

百度百科超立方体
代码实现参考的bilibili上的一个视频
《图论导引》P26，定义1.3.7

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超立方体及其可视化（Processing）

文章目录

1 超立方体

2 Processing实现可视化

3 拓展知识（图论）

4 参考资料

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