麻将的一些概率计算

文章目录

  • 麻将的一些概率计算
    • 骰子
    • 开牌
    • 摸牌
    • 和牌加码
    • 和牌买码

本文所用麻将规则是笔者家族内部的规则
庄家为一位, 庄家的下家为二位, 二位的下家为三位, 三位的下家为四位, 四位的下家为庄家.

骰子

  • 开局前庄家投两个骰子开牌, 大的确定牌墙, 两个的和确定墩(读栋)

选到各家的牌墙的概率:

玩家 概率
庄家 1036=27.8%\dfrac{10}{36}=27.8\%3610​=27.8%
二位 1436=38.9%\dfrac{14}{36}=38.9\%3614​=38.9%
三位 536=13.9%\dfrac{5}{36}=13.9\%365​=13.9%
四位 736=19.4%\dfrac{7}{36}=19.4\%367​=19.4%

各墩开始拿牌的概率

墩 概率
1 000
2 136=2.8%\dfrac{1}{36}=2.8\%361​=2.8%
3 236=5.6%\dfrac{2}{36}=5.6\%362​=5.6%
4 336=8.3%\dfrac{3}{36}=8.3\%363​=8.3%
5 436=11.1%\dfrac{4}{36}=11.1\%364​=11.1%
6 536=13.8%\dfrac{5}{36}=13.8\%365​=13.8%
7 636=16.7%\dfrac{6}{36}=16.7\%366​=16.7%
8 536=13.8%\dfrac{5}{36}=13.8\%365​=13.8%
9 436=11.1%\dfrac{4}{36}=11.1\%364​=11.1%
10 336=8.3%\dfrac{3}{36}=8.3\%363​=8.3%
11 236=5.6%\dfrac{2}{36}=5.6\%362​=5.6%
12 136=2.8%\dfrac{1}{36}=2.8\%361​=2.8%
13+ 000

开牌

麻将含
番子字牌: 東風 南風 西風 北風 紅中 發財 白板
万子数牌: 一萬 二萬 三萬 四萬 五萬 六萬 七萬 八萬 九萬
筒子数牌: 一筒 二筒 三筒 四筒 五筒 六筒 七筒 八筒 九筒
索子数牌: 小鸟 二索 三索 四索 五索 六索 七索 八索 九索
以上各牌各有四张, 共 136 张.

庄家上手14张牌, 含番子牌数的期望为 28136⋅14=2.88\dfrac{28}{136}\cdot14=2.8813628​⋅14=2.88

其余上手13张牌, 含番子牌数的期望为 28136⋅13=2.68\dfrac{28}{136}\cdot13=2.6813628​⋅13=2.68

13张牌的番子牌数的概率表如下

番子牌数 概率
0 C10813C280C13613=4.3%\dfrac{C_{108}^{13}C_{28}^{0}}{C_{136}^{13}}=4.3\%C13613​C10813​C280​​=4.3%
1 C10812C281C13613=16.1%\dfrac{C_{108}^{12}C_{28}^{1}}{C_{136}^{13}}=16.1\%C13613​C10812​C281​​=16.1%
2 C10811C282C13613=27.0%\dfrac{C_{108}^{11}C_{28}^{2}}{C_{136}^{13}}=27.0\%C13613​C10811​C282​​=27.0%
3 C10810C283C13613=26.2%\dfrac{C_{108}^{10}C_{28}^{3}}{C_{136}^{13}}=26.2\%C13613​C10810​C283​​=26.2%
4 C1089C284C13613=16.6%\dfrac{C_{108}^{9}C_{28}^{4}}{C_{136}^{13}}=16.6\%C13613​C1089​C284​​=16.6%
5 C1088C285C13613=7.2%\dfrac{C_{108}^{8}C_{28}^{5}}{C_{136}^{13}}=7.2\%C13613​C1088​C285​​=7.2%
6 C1087C286C13613=21.7%\dfrac{C_{108}^{7}C_{28}^{6}}{C_{136}^{13}}=21.7\%C13613​C1087​C286​​=21.7%
7 C1086C287C13613=0.47%\dfrac{C_{108}^{6}C_{28}^{7}}{C_{136}^{13}}=0.47\%C13613​C1086​C287​​=0.47%
8 C1085C288C13613=0.072%\dfrac{C_{108}^{5}C_{28}^{8}}{C_{136}^{13}}=0.072\%C13613​C1085​C288​​=0.072%
9 C1084C289C13613=0.0077%\dfrac{C_{108}^{4}C_{28}^{9}}{C_{136}^{13}}=0.0077\%C13613​C1084​C289​​=0.0077%
10 C1083C2810C13613=5.5⋅10−6\dfrac{C_{108}^{3}C_{28}^{10}}{C_{136}^{13}}=5.5\cdot10^{-6}C13613​C1083​C2810​​=5.5⋅10−6
11 C1082C2811C13613=2.6⋅10−7\dfrac{C_{108}^{2}C_{28}^{11}}{C_{136}^{13}}=2.6\cdot10^{-7}C13613​C1082​C2811​​=2.6⋅10−7
12 C1081C2812C13613=6.8⋅10−9\dfrac{C_{108}^{1}C_{28}^{12}}{C_{136}^{13}}=6.8\cdot10^{-9}C13613​C1081​C2812​​=6.8⋅10−9
13 C1080C283C13613=7.7⋅10−11\dfrac{C_{108}^{0}C_{28}^{3}}{C_{136}^{13}}=7.7\cdot10^{-11}C13613​C1080​C283​​=7.7⋅10−11

摸牌

平均每人能摸 21 张牌, 含约 28136⋅21=4.3\dfrac{28}{136}\cdot21=4.313628​⋅21=4.3 张番子牌.
每次摸牌, 为番子牌概率为 28136=20.6%\dfrac{28}{136}=20.6\%13628​=20.6%

由于实际洗牌时常常不匀, 因此不讨论完全洗匀条件下, 连续摸出番子牌的概率.

和牌加码

自摸后继续摸2到4张牌作为码, 每有一张牌的数序符合自己对于庄家的位数, 则中一码.

下表中将摸n个码中m个码简写为m/n

情况 中0/4个码的概率 中1/4个码的概率 中2/4个码的概率 中3/4个码的概率 中4/4个码的概率 四个码的中码数期望
庄家和牌(需求一五九) C440C924C1364=20.5%\dfrac{C_{44}^{0}C_{92}^{4}}{C_{136}^{4}}=20.5\%C1364​C440​C924​​=20.5% C441C923C1364=40.5%\dfrac{C_{44}^{1}C_{92}^{3}}{C_{136}^{4}}=40.5\%C1364​C441​C923​​=40.5% C442C922C1364=29.0%\dfrac{C_{44}^{2}C_{92}^{2}}{C_{136}^{4}}=29.0\%C1364​C442​C922​​=29.0% C443C921C1364=8.9%\dfrac{C_{44}^{3}C_{92}^{1}}{C_{136}^{4}}=8.9\%C1364​C443​C921​​=8.9% C444C920C1364=1.0%\dfrac{C_{44}^{4}C_{92}^{0}}{C_{136}^{4}}=1.0\%C1364​C444​C920​​=1.0% 1134⋅4=1.29\dfrac{11}{34}\cdot 4=1.293411​⋅4=1.29
二位和牌(需求二六)
三位和牌(需求三七) 		C320C1044C1364=33.7%\dfrac{C_{32}^{0}C_{104}^{4}}{C_{136}^{4}}=33.7\%C1364​C320​C1044​​=33.7% C321C1043C1364=42.7%\dfrac{C_{32}^{1}C_{104}^{3}}{C_{136}^{4}}=42.7\%C1364​C321​C1043​​=42.7% C322C1042C1364=19.5%\dfrac{C_{32}^{2}C_{104}^{2}}{C_{136}^{4}}=19.5\%C1364​C322​C1042​​=19.5% C323C1041C1364=3.8%\dfrac{C_{32}^{3}C_{104}^{1}}{C_{136}^{4}}=3.8\%C1364​C323​C1041​​=3.8% C324C1040C1364=0.26%\dfrac{C_{32}^{4}C_{104}^{0}}{C_{136}^{4}}=0.26\%C1364​C324​C1040​​=0.26% 834⋅4=0.94\dfrac{8}{34}\cdot 4=0.94348​⋅4=0.94
四位和牌(需求四八) C280C1084C1364=39.3%\dfrac{C_{28}^{0}C_{108}^{4}}{C_{136}^{4}}=39.3\%C1364​C280​C1084​​=39.3% C281C1083C1364=41.9%\dfrac{C_{28}^{1}C_{108}^{3}}{C_{136}^{4}}=41.9\%C1364​C281​C1083​​=41.9% C282C1082C1364=16.0%\dfrac{C_{28}^{2}C_{108}^{2}}{C_{136}^{4}}=16.0\%C1364​C282​C1082​​=16.0% C283C1081C1364=2.6%\dfrac{C_{28}^{3}C_{108}^{1}}{C_{136}^{4}}=2.6\%C1364​C283​C1081​​=2.6% C284C1080C1364=0.15%\dfrac{C_{28}^{4}C_{108}^{0}}{C_{136}^{4}}=0.15\%C1364​C284​C1080​​=0.15% 734⋅4=0.82\dfrac{7}{34}\cdot 4=0.82347​⋅4=0.82

和牌买码

自摸后局外人买1到2张牌作为码, 每有一张牌的数序符合赢家对于庄家的位数, 则中一码.
每买一码需要出2个点, 每中一个码赚8个点

下表中将买n个码中m个码简写为m/n

情况 中0/1个码的概率 中1/1个码的概率 买一个码赚的期望
庄家和牌(需求一五九) 2334=67.6%\dfrac{23}{34}=67.6\%3423​=67.6% 1134=32.4%\dfrac{11}{34}=32.4\%3411​=32.4% 2334⋅(−2)+1134⋅6=0.588\dfrac{23}{34}\cdot(-2)+\dfrac{11}{34}\cdot6=0.5883423​⋅(−2)+3411​⋅6=0.588
二位和牌(需求二六)
三位和牌(需求三七) 		2634=76.5%\dfrac{26}{34}=76.5\%3426​=76.5% 834=23.5%\dfrac{8}{34}=23.5\%348​=23.5% 1317⋅(−2)+417⋅6=−0.118\dfrac{13}{17}\cdot(-2)+\dfrac{4}{17}\cdot6=-0.1181713​⋅(−2)+174​⋅6=−0.118
四位和牌(需求四八) 2734=79.4%\dfrac{27}{34}=79.4\%3427​=79.4% 734=20.6%\dfrac{7}{34}=20.6\%347​=20.6% 2734⋅(−2)+734⋅6=−0.353\dfrac{27}{34}\cdot(-2)+\dfrac{7}{34}\cdot6=-0.3533427​⋅(−2)+347​⋅6=−0.353
情况 中0/2个码的概率 中1/2个码的概率 中2/2个码的概率 买两个码赚的期望=买一个码赚的期望×2
庄家和牌(需求一五九) C440C922C1362=45.6%\dfrac{C_{44}^{0}C_{92}^{2}}{C_{136}^{2}}=45.6\%C1362​C440​C922​​=45.6% C441C921C1362=44.1%\dfrac{C_{44}^{1}C_{92}^{1}}{C_{136}^{2}}=44.1\%C1362​C441​C921​​=44.1% C442C920C1362=10.3%\dfrac{C_{44}^{2}C_{92}^{0}}{C_{136}^{2}}=10.3\%C1362​C442​C920​​=10.3% C440C922C1362⋅(−4)+C441C921C1362⋅4+C442C920C1362⋅12=1.176\dfrac{C_{44}^{0}C_{92}^{2}}{C_{136}^{2}}\cdot(-4)+\dfrac{C_{44}^{1}C_{92}^{1}}{C_{136}^{2}}\cdot4+\dfrac{C_{44}^{2}C_{92}^{0}}{C_{136}^{2}}\cdot12=1.176C1362​C440​C922​​⋅(−4)+C1362​C441​C921​​⋅4+C1362​C442​C920​​⋅12=1.176
二位和牌(需求二六)
三位和牌(需求三七) 		C320C1042C1362=58.3%\dfrac{C_{32}^{0}C_{104}^{2}}{C_{136}^{2}}=58.3\%C1362​C320​C1042​​=58.3% C321C1041C1362=36.2%\dfrac{C_{32}^{1}C_{104}^{1}}{C_{136}^{2}}=36.2\%C1362​C321​C1041​​=36.2% C322C1040C1362=5.4%\dfrac{C_{32}^{2}C_{104}^{0}}{C_{136}^{2}}=5.4\%C1362​C322​C1040​​=5.4% C320C1042C1362⋅(−4)+C321C1041C1362⋅4+C322C1040C1362⋅12=−0.235\dfrac{C_{32}^{0}C_{104}^{2}}{C_{136}^{2}}\cdot(-4)+\dfrac{C_{32}^{1}C_{104}^{1}}{C_{136}^{2}}\cdot4+\dfrac{C_{32}^{2}C_{104}^{0}}{C_{136}^{2}}\cdot12=-0.235C1362​C320​C1042​​⋅(−4)+C1362​C321​C1041​​⋅4+C1362​C322​C1040​​⋅12=−0.235
四位和牌(需求四八) C280C1082C1362=62.9%\dfrac{C_{28}^{0}C_{108}^{2}}{C_{136}^{2}}=62.9\%C1362​C280​C1082​​=62.9% C281C1081C1362=32.9%\dfrac{C_{28}^{1}C_{108}^{1}}{C_{136}^{2}}=32.9\%C1362​C281​C1081​​=32.9% C282C1080C1362=4.1%\dfrac{C_{28}^{2}C_{108}^{0}}{C_{136}^{2}}=4.1\%C1362​C282​C1080​​=4.1% C280C1082C1362⋅(−4)+C281C1081C1362⋅4+C282C1080C1362⋅12=−0.706\dfrac{C_{28}^{0}C_{108}^{2}}{C_{136}^{2}}\cdot(-4)+\dfrac{C_{28}^{1}C_{108}^{1}}{C_{136}^{2}}\cdot4+\dfrac{C_{28}^{2}C_{108}^{0}}{C_{136}^{2}}\cdot12=-0.706C1362​C280​C1082​​⋅(−4)+C1362​C281​C1081​​⋅4+C1362​C282​C1080​​⋅12=−0.706

由上可知买码实质首先赌的是庄家会赢, 其次赌的是买的码会中

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