数学笔记——导数5(指数函数和对数函数的导数)
指数函数的性质
先来复习一下中学的课程:
指数函数的导数
对f(x) = ax求导:
ax右侧的那个极限似乎没有办法继续简化了,如果这个极限看作关于a的函数(之所以将极限看作关于a的函数,是因为在这个极限中,a是未知的,Δx是已知的):
函数在某一点导数的几何意义是该点处切线的斜率,所以M(a)也就是ax在x=0处切线的斜率。
如果y=2x,则,我们仍不知道M(a)是什么,暂且作为悬念。
e
我们知道e表示自然对数的底数,暂且不管自然对数到底是什么,只知道它确实存在。e有两个性质:
1) (ex)’ = ex
2) ex在x=0的导数是1
当我们想要继续对f(kx)=2kx,k∈R求导时,根据上节的公式(2),,这并没有解决问题,看起来更复杂了。如果已知函数某一点的导数,就能求得该函数压缩或伸展后在该点的导数,2kx仅仅是2x的压缩或伸展,在x=0处的斜率也不断向左或向右倾斜:
当k=1/M(2)时,(bx)在x=0处的导数是1,b = e,虽然暂时不知道它的值,但已经知道它确实存在。
对数的性质
自然对数的导数
自然对数是以e为底的对数,简写做ln
y=lne和y=ex互为反函数:
lnx求导
对于函数y = lnx,其反函数是ey = x,根据反函数微分法:
M(a)的真相
已经做了足够多的准备工作,是时候揭开M(a)的真相了。
在对指数函数y=ax求导时,我们得出(ax)’=axM(a)。根据对数的性质,elna = a,原函数需要使用对数进行一次变换:
根据链式求导法则,
所以,M(a) = ln(a)
指数函数的求导公式
由于已经知道了M(a),所以我们终于可以完成对指数函数的求导了。
对数函数求导公式:(ax)’ = axlna
示例:
(10x)’ = 10xln10, (2x)’ = 2x ln2
对数微分法
自然对数求导公式:(lnu)’ = u’/u,u是x的函数
根据该公式,(lnx)’ = x’/x = 1/x
示例1:(lnx)’ = x’/x = 1/x
示例2:(lnax)’ = (ax)’/ ax = (ax lna) / ax = lna
示例3:(xx)’
这个稍微复杂点,不能直接用指数函数求导法则,因为指数也是x,此时需要使用对数做一次转换。
示例4:(xn)’
根据幂函数求导公式,(xn)’ = nxn-1,现在使用对数转换对其求解:
也可以使用对数微分法求解:
示例5:(lnsecx)’
(lnsecx)’ = (secx)’/secx = secxtanx/secx = tanx
e的真相
先来看一个极限:
这下麻烦了,似乎没有办法直接求解。然而数学的魅力就在于化繁为简,化不可能为可能。暂且抛开lim,并使用对数转换(1+1/x)x :
由此得出结论:
总结
- (e^x)’ = e^x,e^x在e^x=0处的导数是1
- 指数函数的导数 (ax)’=axlna
- (lnx)’ = 1/x
- 对数微分法,(lnu)’ = u’/u
作者:我是8位的
出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey
本文以学习、研究和分享为主,如需转载,请联系本人,标明作者和出处,非商业用途!
数学笔记——导数5(指数函数和对数函数的导数)相关推荐
- 数学笔记3——导数3(隐函数的导数)
数学笔记3--导数3(隐函数的导数) 幂函数的扩展形式 f(x) = xn的导数:f'(x) = nxn-1,n是整数,该公式对f(x) = xm/n, m,n 是整数同样适用. 推导过程: 什么是隐 ...
- 函数笔记(常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、复合函数)
常数函数.幂函数.指数函数.对数函数.三角函数和反三角函数统称为基本初等函数 常数函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数 复合函数
- [23考研数学笔记]导数定义专题
关于导数存在和可导 导数存在: 用导数的定义求极限存在,说明函数在这个点的导数存在, 但不一定可导 处处可导: ** 函数在这个点的导数定义存在+左右导数存在且相等-即可导,但导函数不一定连续 理解分 ...
- 数学笔记28——不定式和洛必达法则
我们已经能够处理很多极限,但是对于一些特殊情况的极限问题,过去的方法显得有些苍白.在先前内容的铺垫下,我们终于可以处理一些不定型的极限问题了,其中包括"0/0"型."∞/ ...
- 最小二乘法函数拟合原理及matlab实现—数学笔记
最小二乘法函数拟合原理及matlab实现 --数值分析数学笔记 如有纰漏,欢迎指正 文章目录 最小二乘法函数拟合原理及matlab实现 前言 一.拟合标准 1.使偏差向量满足 1 1 1 - 范数 2 ...
- 指数函数中x的取值范围_基本初等函数I: 指数函数、对数函数和幂函数
本文大约4800字, 建议学习时间1个小时. 在学习过一次函数和二次函数(修改版)后, 我们知道, 一次函数y=kx+b当一次项系数k大于零时是增函数, 小于零时是减函数. 二次函数y=ax2+bx+ ...
- 数学笔记24——分部积分
不是所有被积函数都能解析地写出原函数.对于那些可能写出来的函数,也需要一定的积分技巧才能随心所欲,分部积分正是其中很重要的一种技巧. 基本公式 部分积分演变自积分的乘法法则: 示例1 看起来很难对付, ...
- 陈宝林《最优化理论与算法》超详细学习笔记 (一)————第十章 使用导数的最优化方法(最速下降法、牛顿法、阻尼牛顿法)
陈宝林<最优化理论与算法>超详细学习笔记 (一)----第十章 使用导数的最优化方法(最速下降法.牛顿法.阻尼牛顿法) 写在前面 第十章 使用导数的最优化方法 最速下降法 牛顿法 阻尼牛顿 ...
- 人工智能之数学基础----指数函数和对数函数
本章主要回顾指数函数和对数函数,指数函数和对数函数求导 回顾指数函数和对数函数的基础知识 eee 的定义和性质 如何对指数函数和对数函数求导 指数函数和对数函数的极限求解 对数函数的微分 基础知识 下 ...
- 读书笔记:《思考的乐趣:Matrix67数学笔记》第4章 统计数据的陷阱
<思考的乐趣:Matrix67数学笔记>第4章讲了几个统计学上的陷阱,由于现在流行的大数据与统计学很有渊源,所以认真读了这一章,在<大数据时代>中指出只考虑相关性就够了,而不考 ...
最新文章
- 一劳永逸关闭Windwos默认共享
- 脚本修改域内本地管理员密码
- wxWidgets第四课 EVT_LEFT_UP关联鼠标弹起事件不生效
- html input自动获取光标位置,HTML contenteditable 标签里怎样获取光标像素位置?
- Php 类似coffeescript,十个CoffeeScript一行程序——震惊你的小伙伴
- 计算机的多媒体信息,多媒体信息
- 新能源汽车入局不易 传第三张牌照花落前途汽车
- js中的引号使用不正确导致js方法传入参数类型错误
- 计算机 修改 虚拟ip,怎么样在电脑中设置虚拟IP地址?
- 基层管理者的角色定位
- 章立民老师北京中关村图书大厦讲座
- 窗体中添加标签Label、Icon图标
- 墨水屏(电子纸)刷新模式
- 微型计算机的主频 即 在很大程度,计算机
- web网页设计期末课程大作业:动物主题设计与实现——鲸鱼html+css
- qq超长头衔是怎么设置的,点进来你就知道
- 使用kNN算法对魔方颜色进行分类
- 搭建抢购网环境(给自己加强记忆的)
- ADSL密码 不完全收集
- 【愚公系列】2021年12月 网络工程-PKI
热门文章
- 批处理PS给不同图片添加不同文字
- win10锁屏账户和计算机名,如何隐藏Windows 10锁屏姓名及电子邮件地址
- 主成分分析步骤matlab,主成分分析及matlab实现.ppt
- 魔兽争霸3地图加密,支持重制版-魔兽争霸3地图加密实操,魔兽地图加密工具
- 微信公众号跳转小程序失败 new WxMpTemplateMessage.MiniProgram
- 电脑怎么用计算机打开指令,电脑常用快捷键及命令
- Windows下编译apr、apr-util
- linux 实验感悟_linux实验心得
- FLOWABLE流程引擎分析
- 【Python量化】 Scipy库求解最优资产投资组合