Radon变换理论介绍

本人最近在研究Radon变换，在查阅了各种资料之后在此写下个人的理解，希望与各位牛牛进行交流共同进步，也使得理解更加深刻些。

Radon变换的本质是将原来的函数做了一个空间转换，即，将原来的XY平面内的点映射到AB平面上，那么原来在XY平面上的一条直线的所有的点在AB平面上都位于同一点。记录AB平面上的点的积累厚度，便可知XY平面上的线的存在性。这便是大家所公认的Radon变换的实质所在。

上述听起来很在理也很简单，但却少了直观性。那么，详细的数学理论是什么呢?请看下文：

如果我们将图像中心设为原点，用\rho（直线到原点的距离）和\theta（某一特定方向）代替a、b，即，理解为图像在空间的投影，如图-1所示，用参数表示上述直线，则有：

假定有一个函数f(x,y)，如图-2所示，那么该函数过直线L区域的积分即为：

其中ds是该直线的微分。
上述关于x，y的积分是很容易求解的，其中一种求解技巧是借助Delta函数，上述积分可以写为：

因而，给定一组\rho \theta那么就可以得出一个沿L(\rho,\theta)的积分值。因此，Radon变换就是函数f (x,y)的线积分，如图-3所示。

假如有很多平行于L的线，他们有相同的\theta，径向坐标\rho却不同，这就很好的印证了matlab自带的radon变换命令中每个\theta角度的Radon变换结果是有两个输出项R（特定角度下的Radon变换值也即线积分值）与xp，一一对应（xp可缺省）。我们对每一条这样的平行线都做f(x,y)的线积分，会产生很多投影线，如图-4所示。也就是说对一幅图像在某一特定角度下的Radon变换会产生N个线积分值（Radon变换），而每一个线积分值会对应一个径向坐标xp，如图-5所示。各个角度的Radon变换值汇总在一起就构成一幅Radon变化图。

Radon变换将原图像空间中的直线映射为\rho \theta 空间中的点（线积分值），图像中高灰度值的直线会在\rho \theta空间形成亮点，而低灰度值的线段在\rho \theta空间形成暗点。因而，对直线的检测可转化为在变换区域对亮点、暗点的检测，另外，Radon变换的逆变换常用于医学CT断层成像图像的重建。

下面给出我个人的几个简单的Radon变换与其重构matlab实验结果：

另外：我实验的图像是长方形的，发现重构的结果内容显示并不全，研究了matlab内置的radon逆变换之后，稍微做了显示更改这才显示完全。

以上只是我个人对radon变换的理解，并不具权威性，如有疏漏或者不严谨的地方，希望大家能够指出，jojo会努力修正的~~

谢谢各位大同行！

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