编程之美读书笔记_1.4 买书问题

1.4 买书问题

㈠简要说明

感觉写的很乱，这里先做个简单的说明。对于共有m种书进行打折，总共要买n本。先将原来的折扣，转换成相对折扣（=最大折扣-原折扣）。用F(n)表示买n本书时，能得到最小相对折扣值，此时原折扣和=n*最大折扣-F(n)，必然最大。显然，F(m)=0。贪心算法要能成立，就是要证明F(n)=F(n-m)，或者找出， F(n)=F(n-m)在什么条件下才成立。

如果考虑书的具体种类，比如5本时的状态(a₁, a₂, a₃, a₄, a₅)（递减排列）。可以证明，最优解的买书次数必然是a₁次。其它的买书解法，都可以从解法（a₅次5卷，a₄-a₅次4卷，…，a₁-a₂次1卷），通过几个 i+j => (i-1)+(j+1) (5 >= i > j+1, j>=1) 调整得到（觉得这个从图中看很直观，但不好证明）。通过判断i+j => (i-1)+(j+1)对相对折扣值的影响，就可以判断书上的解法是否一定成立。

㈡若书上的解法二是正确的，其是否具有通用性

原书的一个错误：

P32：“首先，对于大于5本的情况，我们不应该考虑按一本付钱的情况，因为没有折扣。”

这个结论不成立。因为即使没有折扣，也可能总折扣最大。事实上，对6本，拆分成1+5折扣为 125%（＝5*25%+0）比拆分成4+2的折扣90%（＝4*20%+2*10%）还要高。

能否采用书上的解法二，必须保证下面两个问题都成立：

（以下提到的贪心算法是否成立，均特指在不考虑书的具体种类时，贪心算法是否成立）

（1）若贪心算法成立，是否可以按书中所述那样分组。

（2）若贪心算法不成立，是否可以按贪心算法得到的结果上进行调整得到全局最优解。

考虑下面的2种折扣方案（只有买2种书时，折扣不同）：

	1	2	3	4	5
折扣	10%	15%（12.5%）	19%	23%	25%
总折扣	10%	30%（25%）	57%	92%	125%

为计算方便，我们先将各个折扣转成相对折扣（＝最大折扣 - 原折扣）。“求折扣和最大”等同于“求相对折扣和最小”。

	1	2	3	4	5
相对折扣	15%	10%（12.5%）	6%	2%	0
总相对折扣	15%	20%（25%）	18%	8%	0

从表很容易得出，对两种折扣方案，6-9本的最大折扣拆分方法都是：

6=1+5 7=2+5 8=4+4 9=4+5

都是在买8本时，贪心算法不成立。

但是，在买12本时，两种方案的最优拆分方法却不同。

	2+5+5	4+4+4
2种书，折扣取10%时的总相对折扣	20%	24%
2种书，折扣取12.5%时的总相对折扣	25%	24%

结论1：贪心算法不成立时，简单的调整由贪心算法得到的结果，不能保证能得到全局最优解。

我们再考虑下面的折扣方案：

	1	2	3	4	5
相对折扣	27%	10%	7%	3%	0
总相对折扣	27%	20%	21%	12%	0

这种折扣方案，对6-9本可以验证贪心算法是成立的。

如果只买第1卷 4本，其它4卷各1本，即状态（4,1,1,1,1），按书中的拆分方法，得到：

5+1+1+1组合，总相对折扣为81% 而 2+2+2+2 这个组合总相对折扣为80%，比前面的更低。

结论2：在贪心算法成立时，按书中那样简单的分组不能保证得到全局最优解。

㈢不考虑书的具体种类数

假设有m种书，共要买n本书，每次买的书的种类越多，每本书的折扣也越大。即m种时，折扣最大，用这个最大值减去每个折扣得到相对折扣。要使总折扣最大，只要总相对折扣最小。用F(n)表示总相对折扣的最小值（显然：F(1)>F(2)>… >F(m-1)>F(m)=0，若定义F(0)=0，则F(m)=F(0)）。显然F(k*m)=0，由于F(m-1)是第二小的， F(k*m-1)=F(m-1) （k为自然数）。

可以采用的贪心算法：每次尽可能的买m本书。该贪心算法能找到最优解的话，则有：F(i)=F(i-m) (i>=m)。下面说明该等式在什么时候成立，即贪心算法在什么时候成立。

性质1：若对任意自然数i∈[ k, m+k-1] （自然数k>=m）， F(i)=F(i-m)均成立，

则对任意 i >= k，F(i)=F(i-m) 恒成立。

证：由已知，当i∈ [ k, m+k-1] 时，命题F(i)=F(i-m)成立。

假设i=n (n>=m+k-1)时命题成立，则对任意i∈ [ k, n]，F(i)=F(i-m)。

当i=n+1时，根据F(n)的定义及一次可买的书的卷数j（1 <= j <= m）可得：

F(n+1)= min{ F(j)+F(n+1-j)} (1 <= j <= m, k<= n+1-m <= n+1-j <= n)

=min{ F(j) + F(n+1-m-j)}

=F(n+1-m)

故i=n+1时命题仍成立。

因而，对任意 i >= k，F(i)=F(i-m)均成立

如果，k=m时上述命题成立，则对任意自然数i>=m，都有F(i)=F(i-m)= … =F(i%m)。

若要判断贪心算法（“每次尽可能买m本”）是否正确，只要判断本数为m到2*m-1时是否都符合贪心算法，而m本和2*m-1本都是一定符合的，实际上只要判断本数为m+1到2*m-2时是否都正确。

若设一次可买卷数为i（1<=i<=m），则剩余n-i，根据F(n-i)是否等于F(n-i-m)，可将关于i的集合，分成两部分j、k，其中 F(n-j)=F(n-m-j)，而F(n-k) !=F(n-m-k)，则有：

F(n-m)=min{F(i)+F(n-m-i)} <= min{ F(j) + F(n-m-j) }

若整数t满足F(n-m)=F(t)+F(n-m-t)并使等号成立，则t也属于j的集合，满足：F(n-t)=F(n-m-t)。

F(n)= min{ F(j)+F(n-j)，F(k)+F(n-k)}

= min{ F(j) + F(n-m-j), F(k) + F(n-k)}

>= min{ F(n-m), F(k) + F(n-k)}

上式能取等号，必需满足下列条件之一：

① min{F(k)+F(n-k)} <= F(n-m)

② F(n-m)=F(t)+F(n-m-t) 且F(n-t)=F(n-m-t) （1<= t <=m）

若t=m，F(n-m)=F(m)+F(n-2*m)=F(n-2*m)，即当F(n-m)=F(n-2*m)时一定可以取等号。

对书上的折扣方案：

	1	2	3	4	5
相对折扣	25%	20%	15%	5%	0
总相对折扣	25%	40%	45%	20%	0

F(6)=F(5)+F(1)=F(1)

F(7)=F(5)+F(2)=F(2)

F(8)=F(4)+F(4) < F(3) + F(5)

F(9)=F(4)

F(10)=F(5)

F(11)=min( F(6), F(3)+F(8) )=F(6)

F(12)=min( F(7), F(4)+F(8) )=F(7)

F(13) >= min( F(8), F(5)+F(8) )=F(8) (而F(8)=F(5)+F(8)，故可取等号)

购买本数为9到13时，都满足F(i)=F(i-5) (9<=i<=13)，故i>=9时，均有 F(i)=F(i-5)。由于只有本数为8这一个例外，因而若采用贪心算法，能判断出是否将F(8)按F(3)计算，从而对结果进行调整，保证结果正确。

性质2：存在整数k>=m，对任意整数 n >k， F(n)=F(n-m)恒成立。

证：

设买n-m本的最优解中，共有a_i次每次买了i本书，则a_i必定小于m，否则，a_i次买i本，可以优化为i次买m本和a_i-m次买i本。另外，a_i <= i，否则，设j=a_i > i，则j次每次买i本书，可以优化为i次每次买j本书。由于a_i存在上界，可以假设t为i*a_i(1<=i<=m-1)所有可能的乘积和中最大的，即t=max{sum(i*a_i)}。

对整数n>t，如果F(n) != F(n-m) 则需要对F(n-m)的最优解：a₁, a₂, … a_m-1, a_m, 进行调整。对购买n本，能进行的调整只能是将a_m调整为0，将多出的(m+1)*a_m分散到其它的购买次数，否则的话，买n-m本书时也可以采用类似的调整，会得到更优解。此时 n <= t 这与 n>t矛盾。

因而，对任意整数 n> max{sum(i*a_i)} (1<=i<=m-1) 总有：F(n)=F(n-m)

结论3：对任意的买书折扣方案（不考虑所买书的具体种类数），可以通过常数次计算，得到最优解。

当m=5，a_i能取的最大值：

a₁ 为1（但取1时，其它的a_i都要取0）

a₂ 为2（但如果a₃不为0， 2+3 -> 5）

a₃ 为2 ( 3+3+3 -> 4+5)

a₄ 为4

因此 t=0*1+0*2+2*3+4*4=22

即对：对任意整数n>22 都有 F(n)=F(n-5)

又由于F(5*k)=0，F(5*k-1)=F(k-1)一定成立，因而对任何一种5卷的买书折扣方案，最多只要计算6、7、8、11、12、13、16、17、18、21和22这11个买法。

㈣考虑要买的书的具体种类：

根据各卷要买的数目，按大小降序排列，记为：(a₁, a₂, … a_m) (a₁ >= a₂ >= … >= a_m)。

并记书的种类编号为(d₁, d₂, … d_m)。再记折扣方案为(b₁, b₂, … b_m)（b_i为一次买i本的折扣，b₁ > b₂ > … > b_m)。

如果最优解购买次数大于a₁，则必有一次买的书没有d₁，假设这次买了d_i，共有k次没买d₁但却买了d_i，则对a₁次每次都买了d₁，买了a₁本d₁的同时，最多只能买(a_i-k)本d_i，由a_i <= a₁，可知这a₁次购买时必有k次没有购买d_i，这k次购买时，每次可多买一本d_i，相对折扣和更低。也就是说，不在a₁次购买的本都可分摊到a₁次购买中，最终得到的相对折扣更少，这与已经是最优解矛盾，因而购买次数不大于a₁。又由于要买a₁本d₁，每次不能买相同种类的，至少要买a₁次，因而最优解购买次数为a₁，这意味着每次都要买一本d₁。

若买法T：a_m次买m卷，a_m-1-a_m次买m-1卷，… a₁-a₂次买1卷，不是最优解，则与最优解相比较，必存在某本书由一次买i本书，转移到一次买j本书(m >= i > j >= 1，参考下面的直观图)，转移的结果，组合i+j更改为(i-1)+(j+1)，相对折扣改变了：b_i-1 + b_j+1 – (b_i + b_j) ，显然i=j+1时相对折扣没有改变，因而，i>j+1。若对所有的b_i-1 + b_j+1 – (b_i + b_j) （m >= i > j+1, j>=1）均大等于0，则说明买法T已经是最优解，因为对买法T的每一次调整都不会使相对折扣和减小。

对(a₁, a₂, a₃, a₄, a₅)，可以用下面的图形表示，5个长方形，各自的宽度表示要买的数目。纵方向的总高度就是每次要买的书的数目，由前面的证明可知，要购买a₁次。如果将i次每次买了j卷，画一个宽为i，高为j的长方形，将以j=5,4,3,2,1顺序画的5个长方形合并。那么对买法T：a₅次买5卷，a₄-a₅次买4卷，… a₁-a₂次买1卷，将所画的5个长方形合并后再根据高度划分界线，也可得到下面的图形，也就是说买法T对应的是初始状态。取出较高层i的一部分补到较低层k（要求补完后，从上到下每层的宽度仍是递增的，这相当于调整组合i+(k-1)=>(i-1)+k），通过多次这样的操作，可以得到其它的任意一种买法。比如减少第5层的的a₅减少1，补到第4或第3或第2层（由于只能买a₁次，第一层的长度a₁不能改变）。从图中可以看出，如果t=a₅ – ( (a₁-a₂)+ (a₁-a₃) + (a₁-a₄) )>0则第5层长度至少为t，也就是说至少要买t次5卷，再加上每次必须买1本d₁卷，用动态规划求解时，只须用到4个变量即可。

书上的折扣方案：

	1	2	3	4	5
相对折扣	25%	20%	15%	5%	0
总相对折扣	25%	40%	45%	20%	0

所有的 i+j => (i-1)+(j+1) (5 >= i > j+1, j>=1)

调整前组合		调整后组合	相对折扣改变值
5+3	=>	4+4	-5%
5+2		4+3	25%
5+1		4+2	35%
4+2		3+3	30%
4+1		3+2	40%
3+1		2+2	10%

如果上述的所有相对折扣改变值都是非负值，那么买法T就是最优解。但是表格中有一个例外，5+3 => 4+4 这个调整使相对折扣值是减小了。任何组合的调整结果都不可能出现5，但可以出现3，由于任何其它调整的相对折扣改变值都大于5%，因而不存在经过其它调整后再经过5+3 => 4+4调整仍能使相对折扣值减小。由于使相对折扣值变小的调整只有一个，经过这样的调整，肯定得到最优解。

结论4：书上的解法二是正确的，但不具有通用性。

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