计算机网络：循环冗余码CRC

循环冗余码（CRC）又称为多项式编码，将任何一个由二进制位串组成的编码，与一个只含有0和1两个系数的多项式建立一一对应关系。如：位串1010111对应的多项式为 $X^{6}+X^{4}+X^{2}+X+1$ ；多项式 $X^{5}+X^{3}+X^{2}+X^{1}+1$ 对应的位串为101111。

多项式的算术运算采用代数域理论的规则。以2为模来完成，即加法没有进位，减法没有借位，模2加法和模2减法都等同于亦或运算。

CRC编码原理：

使用CRC时，发送方和接收方必须预先商定一个生成多项式G(X)，发送方编码和接收方校验都是利用预先商定的生成多项式来得到。假设G(X)的阶为r，发送方要发送的信息位为k位，CRC的基本思想就是在信息位的尾部追加一个r位的冗余位，使得信息位与冗余位构成的码字所对应的多项式能够被G(X)除尽。当接收方收到码字之后，用G(X)去除对应的码字，如果有余数则表示传输过程中有错误。

CRC具体编码过程：

①收发双方预先商定一个生成多项式G(X)，最高次数为r。——>②将发送方要发送的信息位转换为对应的多项式K(X)。——>③G(X)去除 $X^{r}$ K(X)得到的余式就是冗余位对应的多项式R(X)。——>④发送的码字（信息位+冗余位）：T(X)= $X^{r}$ K(X)+R(X)。

CRC编码举例说明：

发送方要发送的信息位为：1010001，对应的多项式K(X)= $X^{6}+X^{4}+1$ ，生成多项式为G(X)= $X^{4}+X^{2}+X+1$ ；由此可知冗余位的位数为 r =4，因此 $X^{r}$ K(X)= $X^{10}+X^{8}+X^{4}$ (10100010000)。

G(X)去除 $X^{r}$ K(X)：

通过除法运算可知，R(X)=1101；故发送的码字（信息位+冗余位）：T(X)= $X^{r}$ K(X)+R(X)=10100011101。

CRC的相关重要性质：

G(X)含有X+1的因子，则能检测出所有的奇数错误。
若G(X)中不含有X的因子，换句话说，G(X)中含有常数项1，那么能检测出所有突发长度 $\leqslant r$ 的突发错误。
若G(X)中不含有X的因子，而且对于任何 $0< e\leqslant n-1$ 的e，除不尽 $X^{e}$ +1，则能检测出所有的双错。
若G(X)中不含有X的因子，则对于突发长度为r+1的突发错误的漏检率为 $2^{-(r-1)}$ 。
若G(X)中不含有X的因子，则对于突发长度 $b\geqslant r+1$ 的突发错误的漏检率为 $2^{-r}$ 。

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