每日一问 --什么是正弦信号？正弦信号有哪些特性？

2024-04-08 07:05:43

目录

1、正弦信号

2、正弦信号特性

1）积分特性

2）正交特性

前言：正弦信号和余弦信号仅在相位上相差 $\frac{\pi }{2}$ ，因此经常统称为正弦信号。

1、正弦信号

$s(t) = Asin(2\pi ft+\varnothing )$ ,其中A是振幅，f是频率， $\phi$ 是初相

假定：A=1,f=1Hz, $\phi$ =0

则 $s(t)=sin2\pi t$ 其波形如下：

余弦信号与正弦信号相位上差 $\frac{\pi }{2}$ ，图像上表示为正弦信号向左平移 1/4个周期

2、正弦信号特性

1）积分特性

对一个正弦信号做积分时，当积分区间是正弦信号周期的整数倍时，积分结果为0。

根据积分的几何意义：信号波形与时间轴的积分区间部分围出一个封闭图形，对信号求积分就是求这个封闭图形面积的代数和。上述结论显然是成立的，由正弦信号的周期性和对称性直接就可以得到，如图2-6所示。

2）正交特性

正弦信号集合{sin2πf0t，cos2πf0t，sin4πf0t，cos4πf0t，sin6πf0t，cos6πf0t，…}

由基波{sin2πf0t，cos2πf0t}和二次谐波{sin4πf0t，cos4πf0t}等各次谐波组成。

在这个正弦信号集合中：任意2个不同的正弦信号的乘积在基波周期内的积分结果都为0。

任意1个正弦信号与自身的乘积在基波周期内的积分结果都为 $T{0}/2$ 。

证明：

由三角函数的和差化积公式：

cos(α+β)=cos α cos β-sin αsin β

cos(α-β)=cos α cos β+sin αsin β

sin(α+β)=sin α cos β+cos αsin β

sin(α-β)=sin α cos β-cos αsin β

很容易推导出三角函数的积化和差公式：

将α=2mπf0t，β=2nπf0t代入积化和差公式，得

当m≠n时，分别对式(2-1)、(2-2)、(2-3)在基波周期内进行积分，由于m-n次谐波分量和m+n次谐波分量的积分结果都是0，由正弦信号的积分特性，因此得：

当m=n时，式(2-1)、(2-2)、(2-3)三个式子化为：

分别对式(2-4)、(2-5)、(2-6)在基波周期内进行积分，由于m+n次谐波分量的积分结果都是0，所以得：

到这就证完了。

因此，当且仅当正弦信号与其自身的乘积在整数倍周期内积分不等于0，其他的任意2个组合在周期内积分都等于0.

学习书籍

--陈爱军《深入浅出通信原理》

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