多层感知机Perceptron反向传播BP算法推导（Back Propagation）

看了很多BP的推导，都不够简洁直观，这里总结一下。多层Perceptron就是全连接的网络，定义第l层的输入为x(l)x^{(l)}x(l)，那么全连接的线性输出z(l)=W(l)x(l)+b(l)z^{(l)}=W^{(l)}x^{(l)}+b^{(l)}z(l)=W(l)x(l)+b(l)

上面的(l)都表示第l层，如果到了第l+1层，当然要过一个激活函数f，那么
z(l+1)=W(l+1)x(l+1)+b(l+1)z^{(l+1)}=W^{(l+1)}x^{(l+1)}+b^{(l+1)}z(l+1)=W(l+1)x(l+1)+b(l+1)

如果把上面这个公式展开，考虑到x(l+1)x^{(l+1)}x(l+1)和z(l)z^{(l)}z(l)的关系，那就变成了
zj(l+1)=∑iWji(l+1)f(zi(l))+bj(l+1)z_j^{(l+1)}=\sum_iW_{ji}^{(l+1)}f(z_i^{(l)})+b_j^{(l+1)} zj(l+1)=i∑Wji(l+1)f(zi(l))+bj(l+1)

假设第l+1层就输出了，那么整理代价函数就是
J(W,b)=L[f(z(l+1)),y]+Ω(W)J(W,b)=L[f(z^{(l+1)}),y] + \Omega(W)J(W,b)=L[f(z(l+1)),y]+Ω(W)

Back Propagation就是想求每一层每个节点(第i层)的两个偏导∂J(W,b)∂W(i)\frac{\partial J(W,b)}{\partial W^{(i)}}∂W(i)∂J(W,b)和∂J(W,b)∂b(i)\frac{\partial J(W,b)}{\partial b^{(i)}}∂b(i)∂J(W,b)，好证明参数可以传递，不至于传着传着没货了，下面求导开始前，把刚才不严谨的公式画的更清楚一些，还是假设第l+1层后过了激活函数f就去算Loss了，同时定义第l层有SlS_lSl个节点，第l+1层有Sl+1S_{l+1}Sl+1个节点，对于第l层的第i个节点和loss J(W,b)J(W,b)J(W,b)可以得到如下图里的关系：

接下来开始求针对第l层参数的偏导，其中zi(l+1)z_i^{(l+1)}zi(l+1)表示第l+1层的第i个节点的线性输出，Wij(l+1)W_{ij}^{(l+1)}Wij(l+1)表示第l+1层第i个节点从前一层第j个节点过sigmoid后乘以的参数：
∂J(W,b)∂Wij(l+1)=∂J(W,b)∂zi(l+1)∂zi(l+1)∂Wij(l+1)=∂J(W,b)∂zi(l+1)xi(l+1)\frac{\partial J(W,b)}{\partial W_{ij}^{(l+1)}}=\frac{\partial J(W,b)}{\partial z_i^{(l+1)}}\frac{\partial z_i^{(l+1)}}{\partial W_{ij}^{(l+1)}} \\ = \frac{\partial J(W,b)}{\partial z_i^{(l+1)}} x_i^{(l+1)} ∂Wij(l+1)∂J(W,b)=∂zi(l+1)∂J(W,b)∂Wij(l+1)∂zi(l+1)=∂zi(l+1)∂J(W,b)xi(l+1)

∂J(W,b)∂zi(l+1)\frac{\partial J(W,b)}{\partial z_i^{(l+1)}}∂zi(l+1)∂J(W,b)和J的具体表达式有关系，所以定义
δil+1=∂J(W,b)∂zi(l+1)\delta_i^{l+1}=\frac{\partial J(W,b)}{\partial z_i^{(l+1)}}δil+1=∂zi(l+1)∂J(W,b)

那么
∂J(W,b)∂Wij(l+1)=∂J(W,b)∂zi(l+1)∂zi(l+1)∂Wij(l+1)=δil+1xi(l+1)\frac{\partial J(W,b)}{\partial W_{ij}^{(l+1)}}=\frac{\partial J(W,b)}{\partial z_i^{(l+1)}}\frac{\partial z_i^{(l+1)}}{\partial W_{ij}^{(l+1)}} \\ = \delta_i^{l+1} x_i^{(l+1)} ∂Wij(l+1)∂J(W,b)=∂zi(l+1)∂J(W,b)∂Wij(l+1)∂zi(l+1)=δil+1xi(l+1)

∂J(W,b)∂bi(l+1)=∂J(W,b)∂zi(l+1)∂zi(l+1)∂b(l+1)=δil+1\frac{\partial J(W,b)}{\partial b_i^{(l+1)}}=\frac{\partial J(W,b)}{\partial z_i^{(l+1)}}\frac{\partial z_i^{(l+1)}}{\partial b^{(l+1)}} \\ = \delta_i^{l+1} ∂bi(l+1)∂J(W,b)=∂zi(l+1)∂J(W,b)∂b(l+1)∂zi(l+1)=δil+1
有了这俩，还想知道再向前一层是啥，比如针对W的：
∂J(W,b)∂Wij(l)=∂J(W,b)∂zi(l)∂zi(l)∂Wij(l)=δilxi(l)\frac{\partial J(W,b)}{\partial W_{ij}^{(l)}}=\frac{\partial J(W,b)}{\partial z_i^{(l)}}\frac{\partial z_i^{(l)}}{\partial W_{ij}^{(l)}} \\ = \delta_i^{l} x_i^{(l)} ∂Wij(l)∂J(W,b)=∂zi(l)∂J(W,b)∂Wij(l)∂zi(l)=δilxi(l)
剩下的焦点问题就是δi(l)\delta_i^{(l)}δi(l)怎么求了，刚才那个图就用上了，这东西可以看成损失函数在第l层第i个节点产生的残差量，刚才那个图一目了然：
δi(l)=∂J(W,b)∂zi(l)=∑j=1Sl+1[∂J(W,b)∂zj(l+1)∂zj(l+1)∂zi(l)]=∑j=1Sl+1[δj(l+1)Wji(l+1)f′(zi(l))]\delta_i^{(l)}=\frac{\partial J(W,b)}{\partial z_i^{(l)}} \\ =\sum_{j=1}^{S_{l+1}}[\frac{\partial J(W,b)}{\partial z_j^{(l+1)}}\frac{\partial z_j^{(l+1)}}{\partial z_i^{(l)}}] \\ =\sum_{j=1}^{S_{l+1}}[\delta_j^{(l+1)}W_{ji}^{(l+1)}f'(z_i^{(l)})] δi(l)=∂zi(l)∂J(W,b)=j=1∑Sl+1[∂zj(l+1)∂J(W,b)∂zi(l)∂zj(l+1)]=j=1∑Sl+1[δj(l+1)Wji(l+1)f′(zi(l))]

δi(l)\delta_i^{(l)}δi(l)就是整个BP的精髓，说明了参数可以传递，其实就是递推表达式。后面补充几个很重要的问题：

可以看到δi(l)\delta_i^{(l)}δi(l)再展开一层会带来一堆连乘，导致误差膨胀或者消失，ResNet的改进思路就是如此，把上一层的残差短接到下一层，收获了很好的效果
激活函数可以选sigmoid或者relu，最后L可以选平方误差损失或者交叉熵。一般来说平方损失函数输出为连续，交叉熵损失函数更适合二分类问题。但是注意平方损失函数最后一层不能含有Sigmoid或者softmax激活函数！！！原因就是假设用sigmoid，下面表达式中含有sigmoid的导数，这个值非常小，导致学习非常慢
δil+1=∂J(W,b)∂zj(l+1)\delta_i^{l+1}=\frac{\partial J(W,b)}{\partial z_j^{(l+1)}} δil+1=∂zj(l+1)∂J(W,b)
写更加具体一些，如果二分类的话用MSE的话：
J(W,b)=(σ(zj(l+1))−y)22∂J(W,b)∂zj(l+1)=(σ(zj(l+1))−y)σ(zj(l+1))(1−σ(zj(l+1)))J(W,b)=\frac{(\sigma(z_j^{(l+1)})-y)^2}{2}\\ \frac{\partial J(W,b)}{\partial z_j^{(l+1)}}=(\sigma(z_j^{(l+1)})-y)\sigma(z_j^{(l+1)})(1-\sigma(z_j^{(l+1)})) J(W,b)=2(σ(zj(l+1))−y)2∂zj(l+1)∂J(W,b)=(σ(zj(l+1))−y)σ(zj(l+1))(1−σ(zj(l+1)))
但是如果是交叉熵的话，假设分为k类，k类中只有某一类为1，其他为0：
J(W,b)=−∑k=1myklnσ(zj(l+1)）∂J(W,b)∂zj(l+1)=yk(σ(zj(l+1)−1)J(W,b)=-\sum_{k=1}^my_kln\sigma(z_j^{(l+1)}）\\ \frac{\partial J(W,b)}{\partial z_j^{(l+1)}}=y_k(\sigma(z_j^{(l+1)}-1)J(W,b)=−k=1∑myklnσ(zj(l+1)）∂zj(l+1)∂J(W,b)=yk(σ(zj(l+1)−1)
显然交叉熵下降会更快一些
最后写一下完整的J(W,b)，用二元交叉熵损失函数来写吧：
J(W,b)=L[f(z(l+1)),y]+Ω(W)=−1m∑i=1m[yilnoi+(1−yi)ln(1−oi))]+λ2∑l=1N−1∑i=1Sl∑j=1Sl+1(Wij(l))2J(W,b)=L[f(z^{(l+1)}),y] + \Omega(W) \\ = {{-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m[y_ilno_i+(1-y_i)ln(1-o_i))] }}+ \\ \frac{\lambda}{2}\sum_{l=1}^{N-1}\sum_{i=1}^{S_l}\sum_{j=1}^{S_{l+1}}(W_{ij}^{(l)})^2 J(W,b)=L[f(z(l+1)),y]+Ω(W)=−m1i=1∑m[yilnoi+(1−yi)ln(1−oi))]+2λl=1∑N−1i=1∑Slj=1∑Sl+1(Wij(l))2

英文博客可以参考： http://neuralnetworksanddeeplearning.com/chap2.html

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