最小费用最大流问题

一、问题描述

在网络中求一个最大流f，使流的总输送费用最小。

b(f)=∑(vi,vj)bijfijb(f) = \sum\limits_{(v_i,v_j)} b_{ij} f_{ij}b(f)=(vi,vj)∑bijfij ) （ bijb_{ij}bij 表示弧 (vi,vj)(v_i,v_j)(vi,vj) 的费用）

伴随网络流 fff 的增流网络：设 fff 是网络 D=(V,A,C,F,B)D=(V,A,C,F,B)D=(V,A,C,F,B) 的一个网络流，按照以下规则构建一个新的网络 Df=(V,A′,C′,B′)D_{f}=(V,A^{'},C^{'},B^{'})Df=(V,A′,C′,B′)，该网络称为伴随 fff 的增流网络。

V为顶点集，A为弧集，C为容量集，F为流量集，B为费用集

顶点：网络 DfD_{f}Df 的顶点与网络 DDD 的顶点相同；
弧与权：
- 在 DDD 中的弧 (vi,vj)(v_i,v_j)(vi,vj) 若为零流弧，即 fij=0f_{ij}=0fij=0 ，则在 DfD_{f}Df 中构建一条同向的弧，cij′=cij−fijc_{ij}^{'}=c_{ij}-f_{ij}cij′=cij−fij ，bij′=bijb_{ij}^{'}=b_{ij}bij′=bij
  网络D:
  
  增流网络 DfD_{f}Df :
- 在D中的弧 (vi,vj)(v_i,v_j)(vi,vj)若为饱和弧，即fij=cijf_{ij}=c_{ij}fij=cij ，则在 DfD_{f}Df 中构建一条反向的弧，cij′=fijc_{ij}^{'}=f_{ij}cij′=fij ， bij′=−bijb_{ij}^{'}=-b_{ij}bij′=−bij
  网络D：
  
  增流网络 DfD_{f}Df：
- 在D中的弧 vi,vjv_i,v_jvi,vj 若为非饱和弧，即 fij<cijf_{ij}<c_{ij}fij<cij ，则在 DfD_{f}Df 中分别构建一条同向的弧和一条反向的弧，同向的弧 cij′=cij−fijc_{ij}^{'}=c_{ij}-f_{ij}cij′=cij−fij ，bij′=fijb_{ij}^{'}=f_{ij}bij′=fij ；反向的弧 cij′=fijc_{ij}^{'}=f_{ij}cij′=fij ， bij′=−bijb_{ij}^{'}=-b_{ij}bij′=−bij
  网络D：
  
  增流网络DfD_fDf：
负回路：在增流网络DfD_{f}Df中，所有的权（费用）之和小于零的回路称为负回路。
增流圈：在增流网络DfD_{f}Df中的负回路对应网络D中的一个圈，在这个圈中，如果方向与这个负回路方向相同的所有弧都为不饱和弧，方向与负回路方向相反的所有弧都为非零流弧，则这个圈称为增流圈。

二、求解思路

解法I：求得最大流量调整流量分布达到最小费用

利用最大流算法，将网络的流量调整到最大流
构建伴随网络流 fff 的增流网络 DfD_fDf
在增流网络 DfD_fDf 中，查找关于费用的负回路，令 θ=mincij′\theta =min\space{c_{ij}^{'}}θ=min cij′ （ cij′c_{ij}^{'}cij′ 为负回路中各弧的容量），若不存在负回路，则说明当前网络流已经是最小费用流，结束算法。
针对负回路对应网络 DDD 中的圈，若该圈是增流圈，则把增流圈方向上与负回路方向一致的所有弧的流量加上 θ\thetaθ ，把增流圈方向上与负回路方向相反的所有弧的流量减去 θ\thetaθ ；若该圈不是增流圈，则转到步骤3重新寻找负回路。

解法II：满足最小费用寻找最小费用增广链达到最大流量

从网络D的零流f开始，构建伴随网络流f的增流网络 DfD_fDf （此处 DfD_fDf 中的权只需要费用 cij′c_{ij}^{'}cij′）
在增流网络 DfD_{f}Df 中用最短路径算法寻找从源到汇的最短路径，则该最短路径即对应网络D中的一条最小费用增广链；若找不到从源到汇的最短路，说明已经得到最大流，结束算法
在网络D中调整流量。前向弧上令 θj=cij−fij\theta_{j}=c_{ij}-f_{ij}θj=cij−fij ，后向弧上令 θj=fij\theta_{j}=f_{ij}θj=fij ，调整量 θ=min{θj}\theta = min\space \{\theta_{j}\}θ=min {θj}
重复步骤1、2、3，直到在增流网络 DfD_{f}Df 中找不到从源到汇的最短路

三、实例

增流网络实例

有如下网络D：

其对应的增流网络如下：

过程：

V1V_1V1 -> V2V_2V2 其权值为(4,4,2)，也就是 (c12,f12,b12)(c_{12},f_{12},b_{12})(c12,f12,b12) 容量为4、当前流量为4，费用为2，也即饱和弧，饱和弧只能做减流调整，所以对应的增流网络中，需要增加一条反向的弧，权值为(4,-2)，4的计算是能调整的流量数，容量为4，流量为4，向下减流最多能减4，故第一个参数为4，因为是减流，所以取费用的负数-2.
V1V_1V1 -> V3V_3V3 其权值为(2,0,4)，也就是 (c13,f13,b13)(c_{13},f_{13},b_{13})(c13,f13,b13) 容量为2、当前流量为0，费用为4，也即零流弧，零流弧只能做增流调整，所以对应的增流网络中，需要增加一条同向的弧，权值为(2,4)，2的计算是能调整的流量数，容量为2，流量为0，向上增流最多能增2，故第一个参数为2，因为是增流，所以取费用的正数2.
V2V_2V2 -> V3V_3V3 其权值为(5,3,2)，也就是 (c23,f23,b23)(c_{23},f_{23},b_{23})(c23,f23,b23) 容量为5、当前流量为3，费用为2，也即不饱和弧，不饱和弧能做增流和减流两种调整，所以对应的增流网络中，需要增加一条同向的弧和一条反向的弧，权值分别为(2,2)和(3,-2)，对于同向增流弧2的计算是能调整的流量数，容量为5，流量为3，向上增流最多能增2，故第一个参数为2，因为是增流，所以取费用的正数2；同理，反向弧第一参数为3，第二个参数为-2.
V2V_2V2 -> V4V_4V4 其权值为(3,1,4)，也就是 (c24,f24,b24)(c_{24},f_{24},b_{24})(c24,f24,b24) 容量为3、当前流量为1，费用为4，也即不饱和弧，不饱和弧能做增流和减流两种调整，所以对应的增流网络中，需要增加一条同向的弧和一条反向的弧，权值分别为(2,4)和(1,-4)，对于同向增流弧2的计算是能调整的流量数，容量为3，流量为1，向上增流最多能增2，故第一个参数为2，因为是增流，所以取费用的正数4；同理，反向弧第一参数为1，第二个参数为-4.
V3V_3V3 -> V4V_4V4 其权值为(4,3,1)，也就是 (c34,f34,b34)(c_{34},f_{34},b_{34})(c34,f34,b34) 容量为4、当前流量为3，费用为1，也即不饱和弧，不饱和弧能做增流和减流两种调整，所以对应的增流网络中，需要增加一条同向的弧和一条反向的弧，权值分别为(1,1)和(3,-1)，对于同向增流弧1的计算是能调整的流量数，容量为4，流量为3，向上增流最多能增1，故第一个参数为1，因为是增流，所以取费用的正数1；同理，反向弧第一参数为3，第二个参数为-1.

解法I实例

实例

首先寻找最大流，从起点出发到终点结束，将流量充满，得到最大流量图。

然后构建增流网络

构建好之后寻找负回路，可见这条负回路的最小容量为4，则 θ\thetaθ 取4

调整原网络，可以看到对应原网络中为增流圈，与负回路与负回路方向一致的所有弧的流量加上 θ\thetaθ ，把增流圈方向上与负回路方向相反的所有弧的流量减去 θ\thetaθ 得到网络 D2D_2D2

构建 D2D_2D2 的增流网络 Df2D_{f2}Df2

寻找负回路，发现已经找不到负回路，说明网络 D2D_{2}D2 已经是最小费用，结束算法，得到最小费用最大流，最大流为11，最小费用为： 3×4+8×1+4×2+4×3+7×1+4×2=553\times 4 + 8 \times 1+4\times 2+4\times 3+7 \times 1 +4 \times 2=553×4+8×1+4×2+4×3+7×1+4×2=55

解法II实例

暂略待更