题面

[题目描述]

“人生就像一盒巧克力，你永远不知道吃到的下一块是什么味道。”
明明收到了一大块巧克力，里面有若干小块，排成 n n n行 m m m列。每一小块都有自己特别的图案 c i , j c_{i,j} ci,j，它们有的是海星，有的是贝壳，有的是海螺… 其中还有一些因为挤压，已经分辨不出是什么图案了。明明给每一小块巧克力标上了一个美味值 a i , j a_{i, j} ai,j( 0 ≤ a i , j ≤ 1 0 6 0 ≤ a_{i, j} ≤ 10^6 0≤ai,j≤106)，这个值越大，表示这一小块巧克力越美味。
正当明明咽了咽口水，准备享用美味时，舟舟神奇地出现了。看到舟舟恳求的目光，明明决定从中选出一些小块与舟舟一同分享。
舟舟希望这些被选出的巧克力是连通的（两块巧克力连通当且仅当他们有公共边），而且这些巧克力要包含至少 k k k ( 1 ≤ k ≤ 5 1 ≤ k ≤ 5 1≤k≤5 ) 种。而那些被挤压过的巧克力则是不能被选中的。
明明想满足舟舟的愿望，但他又有点“抠”，想将美味尽可能多地留给自己。所以明明希望选出的巧克力块数能够尽可能地少。如果在选出的块数最少的前提下，美味值的中位数（我们定义 n n n 个数的中位数为第 ⌊ n + 1 2 ⌋ ⌊\frac{n+1}{2}⌋ ⌊2n+1⌋小的数）能够达到最小就更好了。
你能帮帮明明吗？

[输入格式]

从标准输入读入数据。
每个测试点包含多组测试数据。
输入第一行包含一个正整数 T T T ( 1 ≤ T ≤ 5 1 ≤ T ≤ 5 1≤T≤5)，表示测试数据组数。
对于每组测试数据：
输入第一行包含三个正整数 n n n, m m m 和 k k k；
接下来 n n n 行，每行 m m m 个整数，表示每小块的图案 c i , j c_{i, j} ci,j。若 c i , j = 1 c_{i, j}=1 ci,j=1 表示这一小块受到过挤压，不能被选中；
接下来 n n n 行，每行 m m m 个整数，表示每个小块的美味值 a i , j a_{i, j} ai,j。

[输出格式]

输出到标准输出。
输出共包括 T T T 行，每行包含两个整数，用空格隔开，即最少的块数和最小的美味值中位数。
若对于某组测试数据，不存在任意一种合法的选取方案，请在对应行输出两个-1。

[样例1输入]

[样例1输出]

9 5

[数据范围与提示]

[暂无]

题解

斯坦纳树

是不是跟宝藏（或者[WC2008]游览计划）这道题很像?
那么我们也考虑使用斯坦纳树来解决这道题，虽然最后几组数据点颜色数量很多，但我们可以先考虑如何解决规模小的数据。
首先我们要找到最小块数，同宝藏这道题目一样，我们可以定义 d i s [ x ] [ y ] [ S ] dis[x][y][S] dis[x][y][S]表示当前在 ( x , y ) (x,y) (x,y)位置，现在收集到的颜色集合为 S S S，同样有两种转移，一种是枚举子集转移，一种是SPFA松弛转移，每个点的代价为1，这样，结合(很难打的)暴力分,我们就可以拿到41分的好成绩。
然后我们考虑如何找到中位数，最常见的套路就是二分中位数，找是否存在一个最小的块使得有 n 2 \frac{n}{2} 2n(向下取整)个数小于 m i d mid mid，那么设 b i , j b_{i,j} bi,j为当前点 ( i , j ) (i,j) (i,j)是否满足 a i , j ≤ m i d a_{i,j}≤mid ai,j≤mid，如果是就赋值为-1否则为1(注意一定是小于等于,也不能将 a i , j = m i d a_{i,j}=mid ai,j=mid够赋值为0,当块数为偶数，前面一半都为 m i d mid mid时，后面的做法是错误的)。
那么我们就相当于维护了两个关键字，每次计算 d i s dis dis是先比较走过的块数的和(设为 a a a)，如果相同就比较走过的 b i , j b_{i,j} bi,j的和(设为 b b b)。然而还有更为简便的做法，就是我们找一个足够大的数 M M M，将它压为一个数 a × M + b a\times M+b a×M+b，这样也能够达到同样的效果。这里的 M M M我们可以取 1 0 5 10^5 105。
每次检验我们要满足 b ≤ 0 b≤0 b≤0，也就是 a n s ≤ ( a n s + M 2 ) M × M ans≤\frac{(ans+\frac{M}{2})}{M}\times M ans≤M(ans+2M)×M(除法向下取整)。(不用检验 a a a,因为每次我们只改变了第二维 b b b)
这样我们就能够拿到50分的好成绩。

随机化

然而本题的颜色数量实在是太大了，无法状压，这时神仙操作就来了。
我们每次可以将每种颜色随机分配成 1 − k 1-k 1−k种不同的颜色，每次随机找最小值，随机到一定次数就可以找到最小值。
为什么这个算法是对的?是因为题目要求至少 k k k种颜色，我们将几种颜色看成一种，只会更劣，不会更优。
注意到当我们将答案的 k k k种颜色分配成不同的颜色时就是最小值，那么我们每次就有 k ! k k \frac{k!}{k^k} kkk!的概率可以找到答案， k = 5 k=5 k=5时单次概率为 0.0384 0.0384 0.0384，大概重复 t = 200 t=200 t=200次,失败的概率就只有 3.97 × 1 0 − 4 3.97\times 10^{-4} 3.97×10−4了，因此基本上可以认为它是一个正确的算法。
复杂度: O ( T × t × ( n m 3 k + ( n m ) 2 2 k ) ) O(T\times t \times(nm3^k+(nm)^2 2^k)) O(T×t×(nm3k+(nm)22k))
然而这只是SPFA完全跑满的情况下才会发生的，这是网格图，因此完全可以通过本题。

实现

[对不起，它咕了…]

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