构造Half(L)的NFA

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偶尔来点纯理论问题。这是一道高级算法作业题，L是正则语言，语言B是L中所有字符串对半开的前一半，证明B也是正则的。

目的明确，构造B的一台NFA，非确定型有限状态机。

要用到“平行NFA”的概念。比如举例另外一个问题：如何判断一个字符串既是正则语言A又是正则语言B？可以构造这样一台NFA，状态集合为Qa*Qb（Qa与Qb为A与B的状态集）。接受集合为Fa*Fb，这样机器的一部分（状态元组的前半部分）匹配语言A，另一部分（元组的后半部分）匹配语言B。

回到我们的主题。假设L的对应DFA为D=(Q,[sum],[delta],q0,F)。构造语言B（L中所有字符串对半开的前一半）的NFA，思路是首先非确定性的猜测输入x在D中运行后到达的状态q（很有可能不是结束状态，因为输入x只是L中某个字符串的一半）。知道q后，构造子NFA：Dq，使用“平行NFA”，状态集为Q*Q，起始状态时(q0,q)，接受状态为{q}*F。这个Dq作用是平行的判断x是不是语言A的一半（状态元组的前一半，从q0到q），并且非确定性的判断、猜测x在语言A中对应字符串的后半部分（状态元组的前一半，从q到F）。而且由于x与他的“后半部分”长度相同，从起始状态到接受状态所需的步数是相同的。

上图是为B构造的NFA。为D（L的DFA）中所有的状态qi构造子状态机Dqi。

Dq=(Q*Q,[sum],[delta]’,(q0,q),{q}*F)

其中,Q是D的状态集，[sum]是D的字符集，q0为D 的起始状态，F为D的接受状态，[delta]为D的转移函数。

转移函数[delta]’( (q1,q2),a)) = { ( [delta](q1,a),[delta](q2,b) ) |all b in [sum] }

（对于状态的第一部分，按照原来的状态集进行转移，识别输入x。对于状态的第二部分，非确定性的从q2转移，猜测x的“后半部分”）

参考文献：http://www.ocf.berkeley.edu/~wwu/cgi-bin/yabb/YaBB.cgi?board=riddles_cs;action=display;num=1046126973

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