分形(Fractal)是指具有自相似特性的现象、图像或者物理过程等。分形学诞生于1970年代中期，属于现代数学中的一个分支。分形学的创始人是具有法国和美国双重国籍的曼德勃罗，他在1982年出版的《大自然的分形几何学》（The Fractal Geometry of Nature）是分形学的经典著作。 分形一般有以下特质：

Mandelbrot集合是分形几何中的经典集合，它是一个在复平面中通过对方程式 z = z² + c 进行迭代产生的图形。Julia集合是分形几何中的另一个经典集合。其他著名的图形还有Koch雪花和谢尔宾斯基三角形。

由于需要大量的数学运算，研究分形必须借助于计算机。

分形算法可以用来生成山脉、树木等自然界中的场景。也有人研究使用分形理论的数据压缩算法。

分形的历史

在传统的几何学中，人们研究一个几何对象，总是习惯于在Euclid空间(Rⁿ,Euclidean)对其研究和度量，其中字母n表示空间的维数，通常为整数，如n分别为1、2、3时，对应的空间为线性空间、平面空间、立体空间，在相应的空间中，我们可以测得几何对象的长度、面积、体积等。但是大约在1个世纪前，在数学领域，相继出现了一些被称为数学怪物(mathematical monsters)的东西，在传统的Euclid领域，人们无法用几何语言去表述其整体或局部性质，其中，比较著名的数学怪物包括：

曲线名称	曲线图形	特点
Koch曲线		此曲线在一维下测量任意段长度为无穷大；在二维下测量面积为零
Soerpinski三角形		此图形面积为零
Cantor集

这些数学怪物困扰数学家许多年，直至20世纪，被美国数学家Benoit B. Mandelbrot创立的分形几何学(fractal geometry)彻底解决。Mandelbrot提出：我们之所以无法用几何语言去描述这些数学怪物，是因为我们是在维数为整数的空间中，用维数同样是整数的“尺子”对其丈量、描述；而维数不应该仅仅是整数，可以是任何一个正实数；只有在几何对象对应的维数空间中，才能对该几何体进行合理的整体或局部描述。 以上图的Koch曲线为例，其维数约为1.26，我们应用同样为1.26维的尺子对其进行描述，比如取该曲线前1/4段作为单位为1的尺子去丈量这个几何体，此几何体长度为4。也正是因其维数介于1维与2维之间，所以此几何体在1维下长度为无穷大，2维下面积为零。

Fractal这个词是由Mandelbrot于1975创造的，来源于拉丁文“Fractus”，其英文意思是broken，即为“不规则、支离破碎”的物体。1967年，Mandelbrot在美国《Science》杂志上发表题目为《英国的海岸线有多长》的划时代论文，标志着其分形思想萌芽的出现。1977年，Mandelbrot在巴黎出版的法文著作《Les objets fractals:forme,hasard et dimension》,1977年，在美国出版其英文版《Fractals:From,Chance,and Dimension》（《分形：形状机遇和维数》）,同年，他又出版了《The Fractal Geometry of Nature》(《大自然的分形几何》)，但是这三本书还未对社会和学术界造成太大的影响。直到1982年，《The Fractal Geometry of Nature》(《大自然的分形几何》)第二版才得到欧美社会的广泛关注，并迅速形成了“分形热”，此书也被分形学界视为分形“圣经”。

• 分形学发展史上的重要里程碑
  • 1872年 Cantor集合被创造
  • 1895年 Weierstrass曲线被创造，此曲线特点是“处处连续，点点不可微”
  • 1906年 Koch曲线被创造
  • 1914年 Sierpinski三角形被创造
  • 1919年 描述复杂几何体的Hausdorff维问世
  • 1951年 英国水文学家Hurst通过多年研究尼罗河，总结出Hurst定律
  • 1967年 Mandelbrot在《Science》杂志上发表论文《英国的海岸线有多长》
  • 1975年 Mandelbrot创造“Fractals”一词
  • 1977年 Mandelbrot在巴黎出版的法文著作《Les objets fractals:forme,hasard et dimension》
  • 1977年 Mandelbrot在美国出版英文著作《Fractals:From,Chance,and Dimension》以及《The Fractal Geometry of Nature》
  • 1982年 《The Fractal Geometry of Nature》第二版，并引发“分形热”
  • 1991年 英国的Pergman出版社创办《Chaos，Soliton and Fractal》杂志
  • 1993年 新加坡世界科学出版社创办《Fractal》杂志
  • 1998年 在马耳他(Malta)的瓦莱塔(Valletta)召开了“分形98年会议”(5th International Multidisciplinary Conference)
  • 2003年 在德国的Friedrichroda召开了“第三届分形几何和推测学国际会议”
  • 2004年 在加拿大(Canada)的温哥华(Vancouver)召开了“分形2004年会议”(8th International Multidisciplinary Conference)

分形的定义

迄今为止，分形还没有一个严格的定义。1982年，曼德勃罗(Mandelbrot)将分形定义为豪斯多夫维(Hausdorff dimension)严格大于拓扑维的集合。1986年，曼德勃罗又给出了一个定义：分形是局部和整体以某种方式相似的形(A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way)。此外，对于具有自相似性质的分形来说，豪斯多夫维等于闵可夫斯基维(Minkovski dimension)。

分形的种类

• 逃逸时间系统：复迭代的收敛限界。例如：Mandelbrot集合、Julia集合、Burning Ship分形
• 迭代函数系统：这些形状一般可以用简单的几何“替换”来实现。例如：康托集合、Koch雪花、谢尔宾斯基三角形、Peano曲线等等。
• 吸引子：点在迭代的作用下得到的结构。一般可以用微分方程确立。例如：Lorenz吸引子。

分形的计算

分形的应用

图形学

Mandelbrot 集合全貌。

软件

• Ultra Fractal
• Visions of Chaos
• Fraciant

参考文献

• [1] Mandelbrot,B.B.,1967,How long is the coast of Britain? Statistical selfsimilarity and fractional dimension,Science,155,636~638
• [2] Mandelbrot,B.B.,1977,Fractals,Form,Chance and Dimension,San Francisco,W.H.Freeman&Co.
• [3] Mandelbrot,B.B.,1982,The Fractal Geometry of Nature,San Francisco,Freeman.
• [4] 李水根，2004，分形，北京：高等教育出版社
• [5] 陈颙 陈凌，2005，分形几何学，北京:地震出版社