图形处理（七）基于热传播的测地距离计算-Siggraph 2013

这里要跟大家分享的是2013年Siggraph上面的一篇paper，名为《Geodesics in Heat:A New Approach to Computing Distance Based on Heat Flow》，这篇paper没有提供源代码，但是因为算法的思想相当新颖，如果你之前有研究过其它的测地三角网格曲面上的测地距离算法，那么看到这篇paper后，你会非常的激动，觉得这个算法相当神奇，网格曲面上测地距离的计算方法又有了新的突破。因为看到这篇paper非常激动，以至于我兴奋得马上去把代码写了一遍，虽然测地距离的计算方法，对于我来说没什么用，但它的想法，它的思想值得我们学习。

《Geodesics in Heat:A New Approach to Computing Distance Based on Heat Flow》算法主要是通过向量场的方法，通过求解热流，求解泊松方程。这篇paper我觉得应该把它归类为向量场类型的文献，曲面上向量场的应用非常广泛，可以用于网格优化重建、参数化纹理映射、网格变形……等，如今这篇paper又让我明白向量场也可以求解测地距离。通过热量传播的方法，去求解测地距离，真是大牛啊

一、理论知识

在很早之前对于测地距离，大牛们就推导出了测地距离的求解归结为求解eikonal equation(程函方程)：

且满足边界约束条件为：

上面符号Φ就是测地距离。

也就是不管是欧式空间还是曲面空间，其测地距离的梯度模长恒等于1，然后边界条件：源点的测地距离值为0。

因此很多大牛，都是针对上面的程函方程的求解进行研究，然而所提出的算法都是非线性的方法，因为上面的方程就是非线性方程，在网格曲面上计算量非常大。而这篇paper作者的真正贡献在于把非线性问题转换为线性问题，到最后只需要求解一个泊松方程就可以了。开始这个算法之前，建议先看一下《Mesh Editing with Poisson-Based Gradient Field Manipulation》这篇利用泊松方程进行三角网格模型编辑，其实这篇paper的思想应该是借用了《Poisson Image Editing》，如果你已经很熟悉《Mesh Editing with Poisson-Based Gradient Field Manipulation》那么看这篇paper将事半功倍。

1、时间离散化，热传播方程时间离散化为：

2、空间离散化，在网格曲面上，离散的拉普拉斯坐标定义为：

Ai表示三角面片的面积的三份之一，j表示顶点i的邻接顶点。对于有V个顶点的网格模型，我们可以列出上面的V个方程，写出矩阵形式为：

其中，Lc为拉普拉矩阵，A为包含每个顶点面积的对角矩阵。

代入公式(3)可得：

在网格曲面上，对于一个给定的三角面片平面上，标量场的梯度计算公式如下：

Af表示三角形的面积，N表示三角面片的法矢，ui就是标量场，我们可以把网格曲面每个顶点的测地距离看成是一个标量场。

顶点i的散度离散形式为：

懒得多说废话了，总之到最后归结为求解如下方程：

其中b我们需要先通过求解标量场u，然后根据散度的计算公式，计算出顶点测地距离的散度。

二、算法实现

算法总流程：

示意图：

其中，Φ就是我们要求的测地距离，t是一个无穷小的数，趋近于0

算法具体实现，先说明一下，我下面自己写的代码很乱，懒得整理，因为我只是为了学习：

1、求解u

根据公式：

求解u，因此我们需要先算出A，t，Lc，还有δ。接着我将逐渐讲解着四个参数的求解：

a、时间t计算：见文献3.2.4，时间理论上来说是一个非常小的数，文中作者给出了其合适的值为：网格平均边长的平方

代码实现如下：

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//计算时间步长，文献中时间步长为：网格模型的边长平均，然后平方
void CHeatGeodesics::Set_Time()
{
m_BaseMesh->need_edge();
int en=m_BaseMesh->m_edges.size();
float sumlength=0;
for (int i=0;i<en;i++)
{
sumlength+=m_BaseMesh->m_edges[i].length();
}
sumlength=sumlength/en;//边长的平均长度
sumlength=sumlength*sumlength;
m_Time_Step=sumlength;
}

b、面积对角矩阵A的计算：

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//计算Geodesics in Heat 文献中的包含顶点Vi的面积矩阵
void CHeatGeodesics::Get_Matrix_A_areas()
{
m_BaseMesh->need_adjacentfaces();
gsi::SparseMatrix &A=m_A_areas;
A.Resize(m_NumberV,m_NumberV);
//计算每个三角面片的面积
int fn=m_BaseMesh->faces.size();
vector<float>&face_area=m_Faces_Area;
face_area.resize(fn);
for (int i=0;i<fn;i++)
{
TriMesh::Face &f=m_BaseMesh->faces[i];
vec vij=m_BaseMesh->vertices[f[1]]-m_BaseMesh->vertices[f[0]];
vec vik=m_BaseMesh->vertices[f[2]]-m_BaseMesh->vertices[f[0]];
float areaf=0.5*len(vij CROSS vik);
face_area[i]=areaf;
}
//计算拉普拉斯算子中每个顶点所占据的面积，即邻接三角面片面积总和的三分之一
for (int i=0;i<m_NumberV;i++)
{
vector<int>&af=m_BaseMesh->adjacentfaces[i];
int n_af=af.size();
float sumarea=0.0;
for (int j=0;j<n_af;j++)
{
sumarea+=face_area[af[j]];
}
//包含顶点的面积为：邻接三角面片面积总和的三分之一
sumarea=sumarea/3.0;
A(i,i) =sumarea;
}
}

C、拉普拉斯矩阵Lc计算：

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//计算Geodesics in Heat 文献中的Lc矩阵，即拉普拉斯算子
void CHeatGeodesics::Get_Matrix_Lc()
{
Ls.resize(m_NumberV,m_NumberV);
int m_nEdges=10000 ;
Ls.reserve(m_nEdges+m_NumberV);
for (int i = 0;i<m_NumberV;++i)
{
VProperty & vi = m_vertices[i];
int nNbrs = vi.VNeighbors.size();
for (int k = 0;k<nNbrs;++k)
{
Ls.insert(i, vi.VNeighbors[k]) = vi.VNeiWeight[k];
}
Ls.insert(i, i) = -vi.VSumWeight;
}
Ls.finalize();
gsi::SparseMatrix &A=m_Lc;
A.Resize(m_NumberV,m_NumberV);
for(int k=0;k<m_NumberV;++k)
{
for ( SparseMatrixType::InnerIterator it(Ls,k); it; ++it)
{
A.Set( it.row(), it.col(), it.value() );
}
}
}

邻接顶点的余切cot权重计算：

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//邻接顶点的余切权重计算
void CHeatGeodesics::CotangentWeights(TriMesh*TMesh,int vIndex,vector<float>&vweight,float &WeightSum,bool bNormalize)//计算一阶邻近点的各自cottan权重
{
int NeighborNumber=TMesh->neighbors[vIndex].size();
vweight.resize(NeighborNumber);
WeightSum=0;
vector<int>&NeiV=TMesh->neighbors[vIndex];
for (int i=0;i<NeighborNumber;i++)
{
int j_nei=NeiV[i];
vector<int>tempnei;
Co_neighbor(TMesh,vIndex,j_nei,tempnei);
float cotsum=0.0;
for (int j=0;j<tempnei.size();j++)
{
vec vivo=TMesh->vertices[vIndex]-TMesh->vertices[tempnei[j]];
vec vjvo=TMesh->vertices[j_nei]-TMesh->vertices[tempnei[j]];
float dotvector=vivo DOT vjvo;
dotvector=dotvector/sqrt(len2(vivo)*len2(vjvo)-dotvector*dotvector);
cotsum+=dotvector;
}
vweight[i]=cotsum/2.0;
WeightSum+=vweight[i];
}
if ( bNormalize )
{
for (int k=0;k<NeighborNumber;++k)
{
vweight[k]/=WeightSum;
}
WeightSum=1.0;
}
}
void CHeatGeodesics:: UniformWeights(TriMesh*TMesh,int vIndex,vector<float>&vweight,float &WeightSum,bool bNormalize)
{
int NeighborNumber=TMesh->neighbors[vIndex].size();
vweight.resize(NeighborNumber);
WeightSum = 0;
for (int j = 0; j <NeighborNumber; ++j )
{
vweight[j] = 1;
WeightSum += vweight[j];
}
if ( bNormalize )
{
for ( int k = 0; k < NeighborNumber; ++k )
vweight[k] /= WeightSum;
WeightSum=1.0;
}
}
//获取两顶点的共同邻接顶点
void CHeatGeodesics::Co_neighbor(TriMesh *Tmesh,int u_id,int v_id,vector<int>&co_neiv)
{
Tmesh->need_adjacentedges();
vector<int>&u_id_ae=Tmesh->adjancetedge[u_id];
int en=u_id_ae.size();
Tedge Co_Edge;
for (int i=0;i<en;i++)
{
Tedge &ae=Tmesh->m_edges[u_id_ae[i]];
int opsi=ae.opposite_vertex(u_id);
if (opsi==v_id)
{
Co_Edge=ae;
break;
}
}
for (int i=0;i<Co_Edge.m_adjacent_faces.size();i++)
{
TriMesh::Face af=Co_Edge.m_adjacent_faces[i];
for (int j=0;j<3;j++)
{
if((af[j]!=u_id)&&(af[j]!=v_id))
{
co_neiv.push_back(af[j]);
}
}
}
}

最后求解方程组，就可以把u求出来了。

2、求解三角网格曲面的热量场▽u (Heat flow)：

这一步直接根据公式：

求解就可以了。然后对▽u进行归一化，并取热量场的反方向，即求测地距离的梯度场：

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for (int i=0;i<fn;i++)
{
TriMesh::Face &f=m_BaseMesh->faces[i];
for (int j=0;j<3;j++)
{
vec ei=m_BaseMesh->vertices[f[(j+2)%3]]-m_BaseMesh->vertices[f[(j+1)%3]];
vec FNormal=normalize(m_BaseMesh->FaceNormal[i]);
vec gradient=float(m_vertices[f[j]].VU*0.5/m_Faces_Area[i])*(FNormal CROSS ei);
FGradient[i]=FGradient[i]+gradient;
}
normalize(FGradient[i]);//文献的重要两步即梯度单位化和梯度反向
FGradient[i]=float(-1.0)*FGradient[i];
//length0[i]=len(FGradient[i]);
}

3、对测地距离的梯度场X，求取散度。

根据公式：

求解测地距离标量场梯度场的散度。

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//计算顶点的散度
for (int i=0;i<vn;i++)
{
vector<int>&adjacentface=m_BaseMesh->adjacentfaces[i];
for (int j=0;j<adjacentface.size();j++)
{
TriMesh::Face &f=m_BaseMesh->faces[adjacentface[j]];
for (int k=0;k<3;k++)
{
if (f[k]==i)
{
vec ei=m_BaseMesh->vertices[f[(k+2)%3]]-m_BaseMesh->vertices[f[(k+1)%3]];
/*vec gradient=float(0.5/m_Faces_Area[adjacentface[j]])*(m_BaseMesh->FaceNormal[adjacentface[j]] CROSS ei);
//计算散度
m_vertices[i].VDivergence+=(FGradient[adjacentface[j]] DOT gradient)*m_Faces_Area[adjacentface[j]];*/
vec e1=m_BaseMesh->vertices[f[(k+1)%3]]-m_BaseMesh->vertices[f[k]];
vec e2=m_BaseMesh->vertices[f[(k+2)%3]]-m_BaseMesh->vertices[f[k]];
float cot_angle1=Cot_angle(e2,ei);
float cot_angle2=Cot_angle(float(-1.0)*e1,ei);
m_vertices[i].VDivergence+=0.5*(cot_angle1*(e1 DOT FGradient[adjacentface[j]])+cot_angle2*(e2 DOT FGradient[adjacentface[j]]));
break;
}
}
}
}

4、最后求解通过求解泊松方程，求取网格曲面上每个顶点的测地距离。

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gsi::SparseLinearSystem *pSystemPos2 = new gsi::SparseLinearSystem();
gsi::Solver_TAUCS * pSolverPos2 = new gsi::Solver_TAUCS(pSystemPos2);
pSystemPos2->Resize(m_NumberV, m_NumberV);
pSystemPos2->ResizeRHS(1);
//由于以下解方程组使用Solver_TAUCS::TAUCS_LLT ，即半正定矩阵模式
m_Lc.Multiply(-1.0);
m_Lc(0,0) =m_Lc(0,0) +10;
pSystemPos2->SetMatrix(m_Lc);
if ( ! pSystemPos2->Matrix().IsSymmetric() )assert(0);
pSolverPos2->OnMatrixChanged();
pSolverPos2->SetStoreFactorization(true);
pSolverPos2->SetSolverMode( gsi::Solver_TAUCS::TAUCS_LLT );
pSolverPos2->SetOrderingMode( gsi::Solver_TAUCS::TAUCS_METIS );
gsi::Vector pRHSPos2 ;
pRHSPos2.Resize(m_NumberV);
// 右边项约束添加
for (int i=0;i<m_NumberV;i++)
{
pRHSPos2[i]=float(-1.0)*m_vertices[i].VDivergence;
}
//初始条件为方程热源的测地距离为0
pRHSPos2[0]=pRHSPos2[0]+10;
pSystemPos2->SetRHS(0, pRHSPos2);
bool boksoveLs2=pSolverPos2->Solve();
if (!boksoveLs2)assert(0);
m_GeodesicsDistance.resize(m_NumberV);
for ( int i=0;i<m_NumberV;++i)
{
m_GeodesicsDistance[i]=(float)pSystemPos2->GetSolution(i,0);
}

可以说到了这里算法已经结束了，当然paper后面还有后续的处理，比如距离光顺，还有边界条件的等问题。但都属于后处理，你如果要实现跟paper一模一样的效果，还是得好好看一看后面的边界条件问题。

边界条件对于结果的影响还是蛮大的。

OK，做一下简单的总结：算法整个过程就说白了就是求解一个泊松方程，说的更白一点，就是求解一个大型的方程组AX=b，因此我们的目标就是先算出A、b，其中对于一个给定的网格曲面模型来说，A就是拉普拉斯矩阵，是固定的。b的求解就是整个算法成功的关键。本文地址：http://blog.csdn.net/hjimce/article/details/46415499 作者：hjimce 联系qq：1393852684 更多资源请关注我的博客：http://blog.csdn.net/hjimce 原创文章，转载请保留本行信息。

参考文献：

1、《Geodesics in Heat:A New Approach to Computing Distance Based on Heat Flow》

2、《Mesh Editing with Poisson-Based Gradient Field Manipulation》

3、《Poisson Image Editing》

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