支持向量机：Outliers

by pluskid, on 2010-09-13, in Machine Learning

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本文是“支持向量机系列”的第四篇，参见本系列的其他文章。

在最开始讨论支持向量机的时候，我们就假定，数据是线性可分的，亦即我们可以找到一个可行的超平面将数据完全分开。后来为了处理非线性数据，使用 Kernel 方法对原来的线性 SVM 进行了推广，使得非线性的的情况也能处理。虽然通过映射 ϕ(⋅) 将原始数据映射到高维空间之后，能够线性分隔的概率大大增加，但是对于某些情况还是很难处理。例如可能并不是因为数据本身是非线性结构的，而只是因为数据有噪音。对于这种偏离正常位置很远的数据点，我们称之为 outlier ，在我们原来的 SVM 模型里，outlier 的存在有可能造成很大的影响，因为超平面本身就是只有少数几个 support vector 组成的，如果这些 support vector 里又存在 outlier 的话，其影响就很大了。例如下图：

用黑圈圈起来的那个蓝点是一个 outlier ，它偏离了自己原本所应该在的那个半空间，如果直接忽略掉它的话，原来的分隔超平面还是挺好的，但是由于这个 outlier 的出现，导致分隔超平面不得不被挤歪了，变成途中黑色虚线所示（这只是一个示意图，并没有严格计算精确坐标），同时 margin 也相应变小了。当然，更严重的情况是，如果这个 outlier 再往右上移动一些距离的话，我们将无法构造出能将数据分开的超平面来。

为了处理这种情况，SVM 允许数据点在一定程度上偏离一下超平面。例如上图中，黑色实线所对应的距离，就是该 outlier 偏离的距离，如果把它移动回来，就刚好落在原来的超平面上，而不会使得超平面发生变形了。具体来说，原来的约束条件

yi(wTxi+b)≥1,i=1,…,n

现在变成

yi(wTxi+b)≥1−ξi,i=1,…,n

其中 ξi≥0 称为松弛变量 (slack variable) ，对应数据点 xi 允许偏离的 functional margin 的量。当然，如果我们运行 ξi 任意大的话，那任意的超平面都是符合条件的了。所以，我们在原来的目标函数后面加上一项，使得这些 ξi 的总和也要最小：

min12∥w∥2+C∑i=1nξi

其中 C 是一个参数，用于控制目标函数中两项（“寻找 margin 最大的超平面”和“保证数据点偏差量最小”）之间的权重。注意，其中 ξ 是需要优化的变量（之一），而 C 是一个事先确定好的常量。完整地写出来是这个样子：

mins.t.,12∥w∥2+C∑i=1nξiyi(wTxi+b)≥1−ξi,i=1,…,nξi≥0,i=1,…,n

用之前的方法将限制加入到目标函数中，得到如下问题：

L(w,b,ξ,α,r)=12∥w∥2+C∑i=1nξi–∑i=1nαi(yi(wTxi+b)−1+ξi)–∑i=1nriξi

分析方法和前面一样，转换为另一个问题之后，我们先让 L 针对 w、b 和 ξ 最小化：

∂L∂w=0∂L∂b=0∂L∂ξi=0⇒w=∑i=1nαiyixi⇒∑i=1nαiyi=0⇒C−αi−ri=0,i=1,…,n

将 w 带回 L 并化简，得到和原来一样的目标函数：

maxα∑i=1nαi–12∑i,j=1nαiαjyiyj⟨xi,xj⟩

不过，由于我们得到 C−αi−ri=0 ，而又有 ri≥0 （作为 Lagrange multiplier 的条件），因此有 αi≤C ，所以整个 dual 问题现在写作：

maxαs.t.,∑i=1nαi–12∑i,j=1nαiαjyiyj⟨xi,xj⟩0≤αi≤C,i=1,…,n∑i=1nαiyi=0

和之前的结果对比一下，可以看到唯一的区别就是现在 dual variable α 多了一个上限 C 。而 Kernel 化的非线性形式也是一样的，只要把 ⟨xi,xj⟩ 换成 κ(xi,xj) 即可。这样一来，一个完整的，可以处理线性和非线性并能容忍噪音和 outliers 的支持向量机才终于介绍完毕了。

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