抽样和抽样分布-样本比率的抽样分布

2024-04-23 05:58:22

样本比率 p¯ \bar{p} 是总体比率 p p 的点估计。
p¯\bar{p} 的抽样分布是样本比率 p¯ \bar{p} 的所有可能值的概率分布。
下面我们了解下 p¯ \bar{p} 的期望、标准差、形状这些数学特征。

p¯ \bar{p} 的数学期望

E(p¯)=p E(\bar{p})=p ，其中p为总体比率。

p¯ \bar{p} 的标准差

p¯ \bar{p} 的标准差与总体是有限还是无限有关。
有限总体下：
σp¯=N−nN−1‾‾‾‾√p(1−p)n‾‾‾‾‾‾√ \sigma _{\bar{p}}=\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}
无限总体下：
σp¯=p(1−p)n‾‾‾‾‾‾√ \sigma _{\bar{p}}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}
与样本均值 x¯ \bar{x} 情况一样，当 n/N⩽0.05 n/N \leqslant 0.05 时，有限总体和无限总体在表达式上的区别可忽略不计，统一按通式 σp¯=p(1−p)n‾‾‾‾‾‾√ \sigma _{\bar{p}}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} 来计算。

p¯ \bar{p} 的形状

对一个来自大容量总体的简单随机样本而言，样本中具有某种特征的个体数目 x x 是一个服从二项分布的随机变量。这意味着 p¯(=x/n，n为常数)\bar{p} (=x/n ，n为常数) 的抽样分布同样是一个二项分布，且 x/n x/n 取每个值的概率是和 x x 相对应的。
可以证明，当

np≥5np\geq 5 且 n(1−p)≥5 n(1-p)\geq 5 时，二项分布可用正态分布来近似。

所以当满足这两个条件时， p¯ \bar{p} 的抽样分布可用正态分布来近似。

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