一些预置点函数

变换

相同坐标系下，由一个点到另一个点。

线性变换

给定一个2×22\times 22×2的方阵MMM，然后对点进行该变换。
p′=Mpp'=Mpp′=Mp

直线对称

给定两个点a,ba,ba,b定一条直线，然后找到点相对于该直线的对称点。

首先得到ab→=b−a=(xb−xa,yb−ya)\overrightarrow{ab}=b-a=(x_b-x_a,y_b-y_a)ab=b−a=(xb−xa,yb−ya)，由于对称与直线方向无关，取x轴分量≥0\ge 0≥0的方向，得到新的向量v→=(dx,dy)\overrightarrow{v}=(dx, dy)v=(dx,dy)。

如果dx=0dx=0dx=0，则关于y轴对称。
p′=(2xa−xp,yp)p'=(2x_a-x_p,y_p)p′=(2xa−xp,yp)
如果dy=0dy=0dy=0，则关于x轴对称。
p′=(xp,2ya−yp)p'=(x_p,2y_a-y_p)p′=(xp,2ya−yp)
否则，进行如下运算

首先计算该直线的方程，易得：

xdy−ydx+(yadx−xady)=0xdy-ydx+(y_adx-x_ady)=0xdy−ydx+(yadx−xady)=0

点到直线的距离为：

D=∣xpdy−ypdx+(yadx−xady)∣dx2+dy2D=\frac{|x_pdy-y_pdx+(y_adx-x_ady)|}{\sqrt{dx^2+dy^2}}D=dx2+dy2∣xpdy−ypdx+(yadx−xady)∣

直线的垂直方向为：
1. 点在直线上方，即xpdy−ypdx+(yadx−xady)<0x_pdy-y_pdx+(y_adx-x_ady)<0xpdy−ypdx+(yadx−xady)<0，则为(1dy,−1dx)(\frac{1}{dy}, -\frac{1}{dx})(dy1,−dx1)
2. 反之，则为(−1dy,1dx)(-\frac{1}{dy}, \frac{1}{dx})(−dy1,dx1)
新的点的位置：

xp′=xp±2D1dy(1dx)2+(1dx)2=xp±2dx(xpdy−ypdx+(yadx−xady))dx2+dy2yp′=yp∓2D1dx(1dx)2+(1dx)2=yp∓2dy(xpdy−ypdx+(yadx−xady))dx2+dy2\begin{array}{ll}x_{p'}&=x_p±2D\frac{\frac{1}{dy}}{\sqrt{(\frac{1}{dx})^2+(\frac{1}{dx})^2}}\\&=x_p±2\frac{dx(x_pdy-y_pdx+(y_adx-x_ady))}{dx^2+dy^2}&\end{array}\\\begin{array}{ll}y_{p'}&=y_p\mp2D\frac{\frac{1}{dx}}{\sqrt{(\frac{1}{dx})^2+(\frac{1}{dx})^2}}\\&=y_p\mp2\frac{dy(x_pdy-y_pdx+(y_adx-x_ady))}{dx^2+dy^2}&\end{array}xp′=xp±2D(dx1)2+(dx1)2dy1=xp±2dx2+dy2dx(xpdy−ypdx+(yadx−xady))yp′=yp∓2D(dx1)2+(dx1)2dx1=yp∓2dx2+dy2dy(xpdy−ypdx+(yadx−xady))

化简之，令e=xpdy−ypdx+(yadx−xady)e=x_pdy-y_pdx+(y_adx-x_ady)e=xpdy−ypdx+(yadx−xady)，则：

p′=(xp−2edxdx2+dy2,yp+2edydx2+dy2)p'=(x_p-2\frac{edx}{dx^2+dy^2}, y_p+2\frac{edy}{dx^2+dy^2})p′=(xp−2dx2+dy2edx,yp+2dx2+dy2edy)

中心对称

给定一个对称中心点ccc，找到点关于该点的对称点。
p′=2c−pp'=2c-pp′=2c−p

中心缩放

给定一个缩放中心点ccc，找到点关于该点以缩放比为λ\lambdaλ的缩放后的点。
p′=c+λ(p−c)p'=c+\lambda(p-c)p′=c+λ(p−c)

中心旋转

将点相对旋转中心点ccc顺时针旋转θ\thetaθ弧度。相当于进行如下线性变换：

M=(cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ)M=\left(\begin{matrix}\cos{\theta}&\sin{\theta}\\-\sin{\theta}&\cos{\theta}\end{matrix}\right)M=(cosθ−sinθsinθcosθ)

中心

相同坐标系下的若干个点，计算其某个中心。

几何中心

找到所有点的几何中心，通过算术平均。

p′=(∑inxin,∑inyin)p' = (\frac{\sum_i^n x_i}{n}, \frac{\sum_i^n y_i}{n})p′=(n∑inxi,n∑inyi)

多边形质心

设所有点依次连接为封闭多边形，则可以算出其多边形质心。

A=12∑i=0n−1(xiyi+1−xi+1yi)px=16A∑i=0n−1(xi+xi+1)(xiyi+1−xi+1yi)py=16A∑i=0n−1(yi+yi+1)(xiyi+1−xi+1yi)A=\frac{1}{2}\sum_{i=0}^{n-1}(x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i)\\p_x = \frac{1}{6A}\sum_{i=0}^{n-1}(x_i+x_{i+1})(x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i)\\p_y = \frac{1}{6A}\sum_{i=0}^{n-1}(y_i+y_{i+1})(x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i)A=21i=0∑n−1(xiyi+1−xi+1yi)px=6A1i=0∑n−1(xi+xi+1)(xiyi+1−xi+1yi)py=6A1i=0∑n−1(yi+yi+1)(xiyi+1−xi+1yi)

力平衡点

给定一组点，以及点处施加的力的大小，计算最后的力平衡点。

通过迭代的方式，反复向合力方向移动ηi\eta_iηi，其中ηi=loss(ηi−1)\eta_i=loss(\eta_{i-1})ηi=loss(ηi−1)。当某次迭代中求出的合力小于1e−41e^{-4}1e−4时停止。

坐标系转换

将点从它所在的坐标系转换为另一个坐标系。详见《几种坐标系定义与坐标系转换》。

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