1987年的那件神秘的往事

1.前言

在1987年发生了一件令当年的研究生考试的考生都难以忘怀的事情。当年的数学卷子出现了如下的一道题目。

1987 考研
设两箱内装有同种零件，第一箱装50件，其中有10 件一等品，
第二箱装30件，其中有18件一等品，先从两箱中任挑一箱，
再从此箱中前后不放回任取两个零件，求：（1）先取出的零件是一等品的概率p．（2）在先取出的是一等品的条件下，后取的仍是一等品的条件概率q．

此题一度被认为是“颇具争议”。其中第二问，命题人王式安和考研老师张宇分别给出了两种解法。本文中我们将介绍这两种解法，并用计算机模拟的方式来检验计算这道题目。

2.两种解法

讨论第二问之前我们先解决第一问。十分明显这是一个全概率的问题
p=12×1050+12×1830=0.4p = \frac{1}{2} × \frac{10}{50} + \frac{1}{2} × \frac{18}{30} = 0.4 p=21×5010+21×3018=0.4
对于第一问两位老师没有疑义，但在第二问上发生了分歧。

1）王式安解法

传说王式安的求解结果是0.385，根据我的的推测，王老师的做法应该是用的全概率公式
p=12×949+12×1729=0.385p = \frac{1}{2} × \frac{9}{49} + \frac{1}{2} × \frac{17}{29} = 0.385 p=21×499+21×2917=0.385
可以推测，王老师认为，由条件可知第一个零件为正品，由此套全概率公式计算第二个零件为正品的概率。

2）张勇解法

张勇老师使用了条件概率公式，设事件A为第一个为正品，事件B为第二个为正品
p(B∣A)=p(AB)p(A)=12×1050×949+12×1830×17290.4=0.4855p(B|A) = \frac{p(AB)}{p(A)} = \frac{\frac{1}{2}×\frac{10}{50}×\frac{9}{49}+\frac{1}{2}×\frac{18}{30}×\frac{17}{29}}{0.4} = 0.4855 p(B∣A)=p(A)p(AB)=0.421×5010×499+21×3018×2917=0.4855

3.程序模拟

众所周知，java是我国人民擅长的编程语言，因此我们选择java作为本次模拟的编程语言。
首先我们构建一个盒子类用来辅助计算。

class Box{private boolean [] box;private int effectiveLength;public Box(int totalSize, int positiveNum){assert totalSize >= positiveNum;effectiveLength = totalSize;box = new boolean[totalSize];for (int i = 0; i < positiveNum; i++){int index = (int) (Math.random() * totalSize);while (box[index]){index = (int) (Math.random() * totalSize);}box[index] = true;}}public boolean fetchOne(){assert effectiveLength > 0;//选择取的下标int index = (int) (Math.random() * effectiveLength);//交换取的位置与最后一个位置boolean temp = box[index];box[index] = box[effectiveLength - 1];box[effectiveLength - 1] = temp;//有效位前移effectiveLength --;return box[effectiveLength];}
}

Box的构造函数接受总零件数和正品数，生成一个布尔数组，中true代表正品，false代表非正品。构造函数可以使得其中的正品和次品是分散交错的，而非正品和次品连续排布。我们可以从数学上证明，尽管生成的for循环中嵌套了while循环，但可以在很高的概率上保证这个for循环可以在多项式时间甚至是亚线性时间内完成。
其次为了保证模拟取出不放回，我们为Box类添加一个fetchOne()方法，该方法可以随机取出一个零件，并将该零件“删除”。事实上这是一种很经典的删除策略：为了保证删除后的其他零件是连续的，我们将选定的零件置换到数组末端，再将其删除。
java中提供了类似C++的vector类，但我还不太会用，就姑且用有效位来标记未被取出的连续零件。

下面我们开始试验，我们统计在条件“第一个为正品”成立的情况下，第二件也为正品的频率。

public static void main(String[] args) {long labCounter = 0; //总试验次数long conditionEstablishedCounter = 0; //条件成立次数long secondPositivePartCounter = 0; //第二件正品次数while (labCounter < 1000000){//初始化两个箱子Box box1 = new Box(50, 10);Box box2 = new Box(30, 18);//选一个箱子，使用随机数double randomNumber = Math.random();Box b = randomNumber > 0.5 ? box1:box2;//抽第一个零件boolean firstPart = b.fetchOne();//抽第二个零件boolean secondPart = b.fetchOne();labCounter ++;if (firstPart){conditionEstablishedCounter ++;if (secondPart){secondPositivePartCounter ++;}}if (labCounter % 10000 == 0 || labCounter < 100 && labCounter % 10 == 0){System.out.println("total：" + labCounter + ", condition established total：" + conditionEstablishedCounter + ", second positive total："+ secondPositivePartCounter + "，total frequency：" + (double) secondPositivePartCounter / conditionEstablishedCounter);}}
}

在每次试验前，我们初始化题目中的两个箱子，并以二分之一的概率随机选一个，再进行两次取操作。总共进行一亿次试验，统计其频率。第一亿的输出如下

total：100000000, condition established total：40004508,
second positive total：19422209，
total frequency：0.48550050909262527

可以看到在一百万次实验中，第一次抽出正品，即条件成立出现了40，004，508次，在第一次抽出正品时，第二次抽出正品发生了19，422，209次，其频率非常接近0.4855。(横坐标为试验次数，纵坐标为频率）

4.经验解释

至此，我们可以基本断定，张勇老师的解法有较大可能是正确的。事实上，在考研的复习全书上有一道类似的题目

1987 考研
设两箱内装有同种零件，第一箱装n件，其中有n 件一等品，
第二箱装m件，其中有1件一等品，先从两箱中任挑一箱，
再从此箱中前后不放回任取两个零件，求：（1）先取出的零件是一等品的概率p．（2）在先取出的是一等品的条件下，后取的仍是一等品的条件概率q．

按照上述张宇和王式安的解法分别求解第二问，得到的结果分别是
mm+1\frac{m}{m+1}m+1m 和 12\frac{1}{2}21，显然第一个结果看起来更加正确，因为根据经验，当条件发生时，我们有更大把握抽的是第一个箱子。
更极端地，我们考虑第二个箱子的m趋向于正无穷，此时从第二个箱子中抽出正品的概率为0，因此当条件成立时，说明我们抽的是第一个箱子，因此第二件为正品的概率趋向于1，而非1/2。

然而，复习全书上赫然写着的答案竟然是1/2，甚至将另一种做法标记为错误解法，加以批评（见数学考研复习全书445页）

5.实验理论

这一部分本应放在实验之前，但我们懒得做严格的证明，仅在此说明。

1）计算机随机数

大部分计算机的随机数生成与程序运行时间或随机数种子有关。对于程序运行时间相关的随机数，我们可以证明，其运行时间随机选择某一时刻得到的微秒数，其个位数字分布必定为均匀分布。更进一步的，我们可以证明这个微秒数对任一较小整数求模，得到的结果也是均匀分布。

2）程序模拟随机性

在生成箱子的构造函数中，我们可以让正品和次品交错分布，在取件方法中，我们可以保证取出的零件是随机的，每个零件被取出的概率是相等的

3）频率逼近概率

有许多定理告诉我们，当实验足够多的时，频率应该接近于概率。因此我们有极大的把握断定，张宇老师的解法应该是正确的。

6.尾声

在第一次在全书上看到这个题目的时候，我也采用了王式安老师的解法。这主要是由于我概念不清、麻痹大意导致的，在考研复习阶段，我们应该努力避免这种情况的发生。一般认为，避免此类情况的途径有两种：

1）努力学习，认真看书，搞清概念，熟悉题型

2）设法避免考研