一文搞清楚单相ab0到dq0的变换

首先，先从simulink里面的αβ0\alpha \beta 0αβ0到dq0的模块以及他的帮助文档说起：

帮助文档：https://ww2.mathworks.cn/help/releases/R2021b/physmod/sps/powersys/ref/alphabetazerotodq0dq0toalphabetazero.html

模块里有个下拉框，包括了 aligned with A axis 和 90 degrees behind A axis 两种。

aligned with A axis的意思是d轴和alpha轴重合，且符合下图时序关系（q轴超前d轴，belta轴超前alpha轴）。
90 degrees behind A axis的意思是 d轴和滞后于alpha轴90°的角度重合，换句话说，就是q轴和alpha轴重合。同样，且符合下图时序关系。

当然，这两种情况下，对αβ0\alpha \beta 0αβ0到dq0的变换矩阵也是不一样的。

aligned with A axis下，αβ0\alpha \beta 0αβ0到dq0的变换矩阵为：
90 degrees behind A axis，αβ0\alpha \beta 0αβ0到dq0的变换矩阵：从上文可以知道，该类型相比上一种类型只是将dq0旋转坐标系的初始位置(也就是帮助文档里写的wt=0时)顺时针旋转了90°，因此可以通过将上一种类型的公式的角度加上90°就可以得到这种类型下的变换矩阵
[cos(wt+90)sin(wt+90)−sin(wt+90)cos(wt+90)]=[sin(wt)−cos(wt)cos(wt)sin(wt)]\begin{bmatrix} cos(wt+90) & sin(wt+90) \\ -sin(wt+90) & cos(wt+90) \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} sin(wt) & -cos(wt) \\ cos(wt) & sin(wt) \end{bmatrix} [cos(wt+90)−sin(wt+90)sin(wt+90)cos(wt+90)]=[sin(wt)cos(wt)−cos(wt)sin(wt)]
上面只列出了 αβ\alpha\betaαβ 到dq的矩阵。
这两种类型只能将α超前β\alpha超前\betaα超前β 的波形转换为直流量的dq量，无论是那种形式的超前，包括但不限于

类型	αβ\alpha\betaαβ 相位分别为0和-pi/2	αβ\alpha\betaαβ 相位分别为pi/2和0	αβ\alpha\betaαβ 相位分别为pi和pi/2
aligned with A axis	dq分别为0和-1	1和0	0和1
90 degrees behind A axis	dq分别为1和0	0和1	-1和0

从上表可以看出，两种类型的选择，结果只是dq值哪个是0哪个是正哪个是负的影响，不会对结果影响很大，只影响结果形式。
但是如果将α滞后于β\alpha滞后于\betaα滞后于β 的波形进行变换会出现结果不是直流，而是正弦波的情况。
此时就需要自己构建转换矩阵，也就是参考文章里的dq变换矩阵形式2:

可以看出，α滞后于β\alpha滞后于\betaα滞后于β 的变换矩阵和α超前于β\alpha超前于\betaα超前于β 中 90 degrees behind A axis时的变换矩阵类似，只是将负号换了位置。
同样，这种变换矩阵应该也对应另外一种形式。但无论哪种形式，处理α滞后于β\alpha滞后于\betaα滞后于β的波形时，变换结果只影响正负号，不影响具体数值。

https://blog.csdn.net/qq_38847810/article/details/105667904

另外还参考了以下：

[1]付兴贺,陈锐.电机中ABC到dq0坐标变换的梳理与辨析[J].微特电机,2021,49(04):1-8+13.
链接为http://www.doc88.com/p-77787160522236.html
上文中，图2-(a)(b)就是对应α超前β\alpha超前\betaα超前β的两种形式，变换矩阵为式(27)(30)，其中式(27)只是处理过的了，变换结果如图5-(a)(b)。图2-©就是对应α滞后β\alpha滞后\betaα滞后β的形式，变换矩阵为式(32)，和式(30)的区别只是负号的位置，变换结果如图5-©，在处理α超前β\alpha超前\betaα超前β的波形时，结果为正弦波。

[1]游江,林茜,董浩.基于dq坐标变换的单相逆变器控制技术[J].应用科技,2017,44(03):54-60.

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