Matlab 仿真——单自由度倒立摆（3）PID控制器设计

文章目录

0. 受控对象与设计要求
- 0.1 受控对象
- 0.2 设计要求
1. 控制系统结构
2. PID控制器设计
3. 那小车呢？
4. 几个问题
5. 参考

0. 受控对象与设计要求

这里列出上一篇文章的结果

0.1 受控对象

Ppend(s)=Φ(s)U(s)=mlqss3+b(I+ml2)qs2−(M+m)mglqs−bmglq[radN]P_{pend}(s) = \frac{\Phi(s)}{U(s)}=\frac{\frac{ml}{q}s}{s^3+\frac{b(I+ml^2)}{q}s^2-\frac{(M+m)mgl}{q}s-\frac{bmgl}{q}} \qquad [ \frac{rad}{N}]Ppend(s)=U(s)Φ(s)=s3+qb(I+ml2)s2−q(M+m)mgls−qbmglqmls[Nrad]
Pcart(s)=X(s)U(s)=(I+ml2)s2−gmlqs4+b(I+ml2)qs3−(M+m)mglqs2−bmglqs[mN]P_{cart}(s) = \frac{X(s)}{U(s)} = \frac{ \frac{ (I+ml^2)s^2 - gml } {q} }{s^4+\frac{b(I+ml^2)}{q}s^3-\frac{(M+m)mgl}{q}s^2-\frac{bmgl}{q}s} \qquad [ \frac{m}{N}] Pcart(s)=U(s)X(s)=s4+qb(I+ml2)s3−q(M+m)mgls2−qbmglsq(I+ml2)s2−gml[Nm]
其中：
q=[(M+m)(I+ml2)−(ml)2]q=[(M+m)(I+ml^2)-(ml)^2]q=[(M+m)(I+ml2)−(ml)2]

0.2 设计要求

对于倒立摆，当小车受到1Nsec的冲激响应的时候：

θ的稳定时间 < 5s
|θ-θ0| < 0.05 radians

对于整个系统，当小车收到0.2m的阶跃信号的时候：

x 与 θ 的稳定时间 < 5s
x 的上升时间 < 0.5s
|θ-θ0| < 0.05 radians （也就是20°）
对于x和θ来说，稳态误差 < 2%

1. 控制系统结构

上图是我们常用的控制器结构。但是因为这里我们希望倒立摆尽可能地抵抗干扰F，从而保持平衡在垂直位置，系统的输入为零。这种0输入，抵抗干扰的控制问题我们一般统称为 Regulator problem。通过简单的变形，我们得到新的控制系统框图：

该系统的转换方程为：
T(s)=Φ(s)F(s)=Ppend(s)1+C(s)Ppend(s)T(s) = \frac{\Phi(s)}{F(s)} = \frac{P_{pend}(s)}{1 + C(s)P_{pend}(s)} T(s)=F(s)Φ(s)=1+C(s)Ppend(s)Ppend(s)
在开始设计PID控制器之前，我们先在Matlab里面定义好我们的受控对象

M = 0.5;
m = 0.2;
b = 0.1;
I = 0.006;
g = 9.8;
l = 0.3;
q = (M+m)*(I+m*l^2)-(m*l)^2;
s = tf('s');
P_pend = (m*l*s/q)/(s^3 + (b*(I + m*l^2))*s^2/q - ((M + m)*m*g*l)*s/q - b*m*g*l/q);

2. PID控制器设计

通过观察控制系统框图，我们发现控制器在反馈线上，因此我们可以用Matlab自带的feedback函数来组成带有PID控制的新系统（这里我们先随机定三个PID参数）：

Kp = 1;
Ki = 1;
Kd = 1;
C = pid(Kp,Ki,Kd);
T = feedback(P_pend,C);

干扰F在新系统里面变成了输入，现在我们看一下新系统受到冲激干扰时的响应：

t=0:0.01:10;
impulse(T,t)
title({'Response of Pendulum Position to an Impulse Disturbance';'under PID Control: Kp = 1, Ki = 1, Kd = 1'});

输出结果

系统依旧不收敛，我们尝试增大P参数

Kp = 100;
Ki = 1;
Kd = 1;
C = pid(Kp,Ki,Kd);
T = feedback(P_pend,C);
t=0:0.01:10;
impulse(T,t)
axis([0, 2.5, -0.2, 0.2]);
title({'Response of Pendulum Position to an Impulse Disturbance';'under PID Control: Kp = 100, Ki = 1, Kd = 1'});

输出结果

系统稳定了，有点震荡。对比我们的设计要求，稳态误差和稳定时间都满足了要求。但是超调很高，超出了0.05弧度的限制。对付超调我们可以通过适当增大D参数来实现。经过几轮尝试，我们最终确定Kp=100，Ki=1，Kd=20，新的输出：

此时，我们设计的PID控制器已经满足所有设计要求。

3. 那小车呢？

上述讨论中系统框图其实是不完整的，因为该系统是单输入双输出系统。而我们并没有考虑小车的位置，一个完整的系统框图其实如下：

重新整理一下框图得到;

因此我们可以得到加了PID控制器后的新系统中小车位置相对于扰动F的转换方程：
T2(s)=X(s)F(s)=Pcart(s)1+Ppend(s)C(s)T_2(s) = \frac{X(s)}{F(s)} = \frac{P_{cart}(s)}{1 + P_{pend}(s)C(s)}T2(s)=F(s)X(s)=1+Ppend(s)C(s)Pcart(s)
其中Pcart(s)Pcart(s)Pcart(s)与C(s)C(s)C(s)已知，于是可以获得该系统转换方程以及冲激响应：

P_cart = (((I+m*l^2)/q)*s^2 - (m*g*l/q))/(s^4 + (b*(I + m*l^2))*s^3/q - ((M + m)*m*g*l)*s^2/q - b*m*g*l*s/q);
T2 = feedback(1,P_pend*C)*P_cart;
t = 0:0.01:5;
impulse(T2, t);
title({'Response of Cart Position to an Impulse Disturbance';'under PID Control: Kp = 100, Ki = 1, Kd = 20'});

输出：

小车几乎以恒定速度往负方向运动，可见虽然我们控制好了倒立摆的角度，但是小车的位置不收敛，所以尽管理论上可以控制好倒立摆，但实际情况下我们不可能有一个无限长的通道供小车一直运动。

4. 几个问题

这里我们的干扰是施加在小车上的，那万一干扰施加在倒立摆上面呢？要怎么确定新的模型框图？
动力学方程里面我们控制的是小车受到的力F，但实际上我们方便控制的是小车的位置X，或者往一个方向的速度加速度，这种情况咋办？

5. 参考

https://ctms.engin.umich.edu/CTMS/index.php?example=InvertedPendulum&section=ControlPID