（三十五）相关变量与期权价格的关系、希腊值

BS公式中变量与期权价格的关系

根据BS公式我们知道一共有5个变量共同影响了期权价格：S、K、r、σ和t，下面我们就来画图直观地感受一下这些变量与看涨看跌期权价格的关系。沿用上一节最后一个例子的数据，S、K、r、σ和t分别为5.29，6，0.04，0.24和0.5：

from scipy.stats import norm
import numpy as np
def bscall(S,K,r,sigma,t):d1=(np.log(S/K)+(r+0.5*sigma**2)*t)/(sigma*np.sqrt(t))d2=(np.log(S/K)+(r-0.5*sigma**2)*t)/(sigma*np.sqrt(t))return S*norm.cdf(d1)-K*np.exp(-r*t)*norm.cdf(d2)
def bsput(S,K,r,sigma,t):d1=(np.log(S/K)+(r+0.5*sigma**2)*t)/(sigma*np.sqrt(t))d2=(np.log(S/K)+(r-0.5*sigma**2)*t)/(sigma*np.sqrt(t))return -S*norm.cdf(-d1)+K*np.exp(-r*t)*norm.cdf(-d2)import matplotlib.pyplot as plt
from pylab import mpl
mpl.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']
mpl.rcParams['axes.unicode_minus']=False
plt.figure(figsize=(18,12))
plt.subplot(231)
S=np.linspace(3,7,100)
plt.plot(S,bscall(S,6,0.04,0.24,0.5),'r-',label='看涨期权')
plt.plot(S,bsput(S,6,0.04,0.24,0.5),'k-',label='看跌期权')
plt.xlabel('股票价格')
plt.ylabel('期权价格')
plt.title('股票价格与期权价格关系')
plt.legend()
plt.subplot(232)
K=np.linspace(5,7,100)
plt.plot(K,bscall(5.29,K,0.04,0.24,0.5),'r-',label='看涨期权')
plt.plot(K,bsput(5.29,K,0.04,0.24,0.5),'k-',label='看跌期权')
plt.xlabel('执行价格')
plt.ylabel('期权价格')
plt.title('执行价格与期权价格关系')
plt.legend()
plt.subplot(233)
sigma=np.linspace(0.1,0.4,100)
plt.plot(sigma,bscall(5.29,6,0.04,sigma,0.5),'r-',label='看涨期权')
plt.plot(sigma,bsput(5.29,6,0.04,sigma,0.5),'k-',label='看跌期权')
plt.xlabel('波动率')
plt.ylabel('期权价格')
plt.title('波动率与期权价格关系')
plt.legend()
plt.subplot(234)
r=np.linspace(0.01,0.07,100)
plt.plot(r,bscall(5.29,6,r,0.24,0.5),'r-',label='看涨期权')
plt.plot(r,bsput(5.29,6,r,0.24,0.5),'k-',label='看跌期权')
plt.xlabel('无风险收益率')
plt.ylabel('期权价格')
plt.title('无风险收益率与期权价格关系')
plt.legend()
plt.subplot(235)
t=np.linspace(0,3,500)
plt.plot(t,bscall(5.29,6,0.04,0.24,t),'r-',label='看涨期权')
plt.plot(t,bsput(5.29,6,0.04,0.24,t),'k-',label='看跌期权')
plt.xlabel('到期期限')
plt.ylabel('期权价格')
plt.title('到期期限与期权价格关系')
plt.legend()

期权价格与股价S和执行价格K的关系容易理解；看涨看跌期权与波动率σ大小成正比是因为波动率反映了期权的时间价值，时间价值对于期权买方来说反映了期权内在价值在未来增值的可能性；当无风险利率r增加时看涨期权价格上升，看跌期权价格下降是因为r的提高代表贴现率也会提高，导致K的现值下降，同时在高利率的情况下手中持有基础资产的机会成本也越高，因此看跌期权价值下降的幅度要比看涨期权上升幅度更大；到期期限与期权价值成正比也和时间价值有关，但是期权马上到期时可能有例外，比如deep-in-the-money put，等待时间越长对持有者越不利。

用希腊值来衡量期权风险

Delta

Delta反映标的资产价格变化一个单位时期权价格的变化，即期权价格对标的价格的一阶导数。欧式看涨期权和看跌期权（多头）的delta分别为∆=N(d₁)、∆=N(d₁)-1，空头则都添个负号。下面画出期权多头的∆与股票价格的关系：

def delta(S,X,r,sigma,t,otype):d1=(np.log(S/X)+(r+0.5*sigma**2)*t)/(sigma*np.sqrt(t))if otype=='call':return norm.cdf(d1)else:return norm.cdf(d1)-1
S1=np.linspace(4,8,100)
plt.plot(S1,delta(S1,6,0.04,0.24,0.5,'call'),'r-',label='看涨期权多头')
plt.plot(S1,delta(S1,6,0.04,0.24,0.5,'put'),label='看跌期权多头')
plt.xlabel('股票价格')
plt.ylabel('delta')
plt.title('股票价格与期权多头delta的关系')
plt.legend()
plt.grid()

由上图可知看涨期权多头∆的取值范围为[0,1]，实值看涨期权∆接近于1，虚值看涨期权∆接近于0；看跌期权多头∆的取值范围为[-1,0]，实值看跌期权∆接近于-1，虚值看跌期权∆接近于0。

我们还可以分为平值、实值和虚值期权，对t变量进行取值，观察t和看涨期权∆的关系：

T=np.linspace(0,5,100)
plt.plot(T,delta(5,6,0.04,0.24,T,'call'),label='虚值期权')
plt.plot(T,delta(6,6,0.04,0.24,T,'call'),label='平值期权')
plt.plot(T,delta(7,6,0.04,0.24,T,'call'),label='实值期权')
plt.xlabel('到期期限')
plt.ylabel('delta')
plt.title('到期期限与看涨期权多头delta的关系')
plt.legend()
plt.grid()

Gamma

Gamma反映标的价格变化一个单位时期权delta的变化，也就是期权价格对标的价格的二阶导数。根据BS公式求二阶导可得欧式看涨和看跌期权的Gamma表达式为：

def gamma(S,X,r,sigma,t):d1=(np.log(S/X)+(r+0.5*sigma**2)*t)/(sigma*np.sqrt(t))return np.exp(-d1**2/2)/(S*sigma*np.sqrt(2*np.pi*t))
plt.figure(figsize=(10,5))
plt.subplot(121)
plt.plot(S1,gamma(S1,6,0.04,0.24,0.5))
plt.xlabel('股票价格')
plt.ylabel('gamma')
plt.title('股票价格与期权gamma的关系')
plt.grid()
plt.subplot(122)
plt.plot(T,gamma(5,6,0.04,0.24,T),label='虚值期权')
plt.plot(T,gamma(6,6,0.04,0.24,T),label='平值期权')
plt.plot(T,gamma(7,6,0.04,0.24,T),label='实值期权')
plt.xlabel('到期期限')
plt.ylabel('gamma')
plt.title('到期期限与期权gamma的关系')
plt.legend()
plt.grid()

可以看到在平值点附近期权的Γ值最大，同时较短期的平值期权的∆值对于标的资产价格变动最敏感：因为即将到期，标的资产价格波动给平值期权带来的不确定性很大。

Theta

Theta表示在其他条件不变的情况下，期权价值随着时间变化而变化的变动率。也就是有效期缩短一个单位时期权价格的变化，期权价格对有效期（缩短）的一阶导数。

def theta(S,X,r,sigma,t,otype):d1=(np.log(S/X)+(r+0.5*sigma**2)*t)/(sigma*np.sqrt(t))d2=(np.log(S/X)+(r-0.5*sigma**2)*t)/(sigma*np.sqrt(t))thetac=-S*sigma*np.exp(-d1**2/2)/(2*np.sqrt(2*np.pi*t))-r*X*np.exp(-r*t)*norm.cdf(d2)if otype=='call':return thetacelse:return thetac+r*X*np.exp(-r*t)
plt.figure(figsize=(10,5))
plt.subplot(121)
plt.plot(S1,theta(S1,6,0.04,0.24,0.5,'call'),label='看涨期权')
plt.plot(S1,theta(S1,6,0.04,0.24,0.5,'put'),label='看跌期权')
plt.xlabel('股票价格')
plt.ylabel('theta')
plt.title('股票价格与期权theta的关系')
plt.legend()
plt.grid()
plt.subplot(122)
plt.plot(T,theta(5,6,0.04,0.24,T,'call'),label='虚值期权')
plt.plot(T,theta(6,6,0.04,0.24,T,'call'),label='平值期权')
plt.plot(T,theta(7,6,0.04,0.24,T,'call'),label='实值期权')
plt.xlabel('到期期限')
plt.ylabel('theta')
plt.title('到期期限与看涨期权theta的关系')
plt.legend()
plt.grid()

由上图可知在接近平值点时θ均为负且达到最小，意味着期权的价值对时间的变化非常敏感；距离到期日短的平值期权θ的绝对值最大，因为快要到期了还是平值，行权的不确定性很大，而对于较长期的期权来说三种期权的θ值差别不大。

Vega

Vega表示隐含波动率每变化一个单位时期权价格的变化，即期权价格对隐含波动率的一阶导数。

同理我们也可以画出vega与股票价格的关系，以及vega与期权到期期限的关系：

在平值点附近时vega值最大，且三种期权的vega都随着期权到期期限的增加而增加，也就是说隐含波动率变化给长期期权合约的带来的价值变化量更大。

Rho

Rho表示无风险收益率每变化1%时期权价格变化0.01*ρ，即期权价格对无风险收益率的一阶导数。

画出rho与股票价格的关系，以及rho与期权到期期限的关系：

无论是看涨还是看跌期权，ρ都是股票价格的递增函数，且实值期权ρ的绝对值都要大于虚值期权的；同时看涨期权的ρ值都是期权期限的递增函数。