浮点尾数特性详解(02325计算机系统结构)

计算机系统结构的浮点尾数的相应表示公式对于记性不好的同学来说真的很让人抓狂。下面我们通过详细的剖析来看看这些表达公式是如何得来的，这样更方便记忆。

首先我们要知道在计算过程中需要求解哪些东西。

这张表中就是所涉及到的浮点尾数相关的求解。

下面来看几个对应的符号所代表的含义

p：阶值的位数（bit）

rm:尾数的基数即进制比如2进制 10进制 8进制

${m}'$ ：尾数的数位（rm进制下）

m : 尾数的位数（bit需要在二进制下求）

m和 ${m}'$ 的关系我们可以先理一下

举个例子：0.618（十进制）

小数点后面就3位此时是10进制所以 ${m}'$ 就是3

m是bit位所以需要把618转为二进制来 6是 0110 1是0001 8是1000

m就是4*3=12位 log₂10=4

（注：10进制需要4位来表示 8进制3位 2^3=8,所以求位数和进制之间的表达式是log₂rm)

所以可以得到m和 ${m}'$ 还有进制rm之间的公式

m= ${m}'$ *log₂rm

接下来我们从阶值开始看。

阶很好理解就是我们经常见到的例如10^2 这个2就是一个阶值。

一般题目会给我们比如某计算机的阶值为5位即p=5：

通过5位（比特位二进制）我们可以得知 00000-11111其表示的范围

所以根据此可得知

最小阶值为0

最大阶值为31即 $2^{p}-1$

阶的个数为 0-31为 32 个即 $2^{p}$

接下来我们来来看最小尾数值，在分析之前我们先来说下规格化这个东西，规格化这里面是指小数点后面第一个不为0的情况。

我们举个例子：比如十进制 0.01234 和十进制 0.1234 第一个就是非规格化的，第二个就是规格化的。在我们计算机系统结构的书里我们主要求的都是规格化的情。

既然知道这种情况我们就好分析了。

接下来我们来看最小尾数值。这个其实很好理解最小就是比0大一就好了。

比如十进制0.1 二进制.1 8进制 .001 16进制 .0001 (注这里需要转为bit位即二进制)

8进制需要3位二进制表示 16进制需要4位二进制表示

根据上面的列举我们可以得到

十进制最小尾数 $10^{-1}$

二进制最小尾数 $2^{-1}$

八进制最小尾数 0*2^-1+0*2^-2+1*2^-3=1/8

十六进制最小尾数 0*2^-1+0*2^-2+0*2^-3+1*2^-4=1/16

根据上面可以得知最小尾数的表达式为 $rm^{-1}$

接下来看最大尾数

10进制的最大数为9 二进制最大数为1

直接求最大不好求，但是我们可以在最大的基础上让他小数位进1位这样得到结果就是1 ，最终我们用1去减去增加的数是不是就可以得到最大尾数了。

我们举个例子说一下如

十进制：0.999999+0.000001这样就变成了1.000000

二进制：.11111111+.00000001这样就变成了1.00000000

（其他进制就不举例了）

现在的问题就是求出我们加的那个数字是啥。

我们可以观察下上面的例子 0.000001 是1* $10^{-6}$ 这个6就是尾数的数位即 ${m}'$ 的值

所以上面的结果就是 $rm^{{-m}'}$

上面我们说了加后的结果是1,所以我们要用1去减去这个值 1-( $rm^{{-m}'}$ ) 不明白为啥是 ${m}'$ 次方的可以看关于m和 ${m}'$ 的定义

接下来看尾数个数

个数这个其实也比较简单我们也还是举个例子。

比如3位2 进制我们的组合方式可以有

111 000 101 110 100 001 010 011 这样就是8种组合

比如10进制的2位数组合可以有

01 02.....09

11 12.....19

. . .

91 92...99

总共100种组合

其他的进制就不列举了，我们通过这个进制和位数的关系可以得知组合个数关系式是

= $rm^{{m}'}$ 即当rm=2时 ${m}'$ 为3时结果为8 当rm位10时 ${m}'$ 为2时结果为100

到这里我们还没结束因为根据规格化要求我们需要去掉首部为0的组合

即为 $rm^{m{}'-1}$

最终结果为 $rm^{{m}'}(1-rm^{-1})$

下面还剩最小值，最大值和数的个数。

我们先来看最小值，最小值其实就是最小尾数同为 $rm^{-1}$

最大值：最大尾数*基数^最大阶数 (排列组合)

即为：（1- $rm^{{-m}'}$ ）x $rm^{2p-1}$

数的个数：尾数的个数*阶的个数 (排列组合)

即为： $2^{p}$ x $rm^{{m}'}(1-rm^{-1})$