2022杭电多校4题解报告（同步自语雀）

一、赛后总结

嘤嘤嘤，本人纯萌新，深夜反思自己到底有多菜~(；′⌒`)

前天没写出状压，再前面不会SAM和圆方树，再往前不会NTT和FFT，真的是个啥也不会的萌新呢。

这场主要的问题在于02的0环和11的线性基。

02基本思路比较清晰，topsort+dijkstra，而且考场中考虑了0边的问题，边权在处理中乘1e5并添加topsort的0边点权作为dijkstra排序依据，这里topsort的点权用以保证0边的起始点在与终止点距离（到1点）相等时优先枚举起始点。本以为0环在保证答案Phi有穷时不会对结果产生影响（毕竟非纯0环不在答案路径即1->n路径上），但为什么没考虑到纯0环（sum_e=0,sum_p=0）呢?萌新属实考虑不周全啦，没有考虑到这个对答案的影响呢！这个纯0环的存在可能会导致通过0环的一些点没有被topsort枚举。所以呢？通过萌新学过的tarjan算法提前缩一下0边环点就好辣~整体思路顺序：tarjan->topsort->dijkstra。

11的线性基萌新不会辣！幸好中途看了一小时就放弃啦，萌新怎么会学过线性基呢？事实上萌新连构造最大异或和的形式都没有成功呢！呜呜呜这一个小时一直在想存在x不等于y使a_x=a_y怎么用，也没有想通。赛后队友还在说可以取l=r使a_l=a_l^a_l=0。呜呜呜这不是看错题了，这是在造萌新不敢想的题叭。。。不过确实有一些过于依赖a_x=a_y性质导致想偏了方向，应该先手玩构造形式的说呢。不过构造出来也不会线性基辣，所以萌新真的好菜呢！(半夜学了一下，是一个有趣的算法呢！萌新愉悦o(*￣▽￣*)ブ

02和11是好题呢，恰好体现了萌新的本质，把萌新与大佬们区分开来！真棒！

考场上萌新写出了01和07，都是出题人良心送给萌新的简单题！出题人真的。。。我哭哭

04和06两个签到是队友做的

UPD1: 补了03的差分约束，啊啊啊是真的板啊，萌新看呆了，感觉只要会差分约束就可以做出来呜呜呜~

UDP2: 补了05的不删除栈黑科技，确实妙，感觉本质是提前计算，但每个位置至多在左右计算两遍的算法性质很精妙~

（by Star_Dream）

二、题解报告

1001 Link with Bracket Sequence II

嘤嘤嘤，有点(～￣(OO)￣)ブ的区间DP,dp[i][j]表示[i,j]的合法匹配数，转移枚举与i匹配的位置mid,i<mid<=j，转移式为dp[i][j]=sum{dp[i+1][mid-1]*dp[mid][j]*(匹配数)}，记得边界特殊处理和取模就好啦。

题目特别友好，萌新也能做！

1002 Link with Running

嘤嘤嘤，有点/(ㄒoㄒ)/~~的图论题。思路：tarjan+topsort+dijkstra.

Tarjan:根据0边对0环进行缩点
Topsort:根据0边对点进行拓扑排序，顺序记为点权。
Dijkstra:传统的最短路算法，将排序依据改为（边权*1e5+点权），这样做可以保证同边权0边起始点优先。

呜呜呜，没考虑纯0环对拓扑的影响，萌新好笨啊！

1003 Magic

差分约束，萌新又不会辣！

补辣补辣！之前确实没有正经学过差分约束，学了以后这题就是板子题辣~

注意的是这个题里有ingredients和value两种说法，所以需要注意的是求前面p约束的是value而后面LR约束的是ingredients，所以这里把value通过ingredients约束就可以辣~三个约束条件如下：

sum[min(n,i+k-1)]-sum[max(0,i-k)]>=pi
sum[R]-sum[L-1]<=B
sum[i]-sum[i-1]>=0

最后如果有解sum[n]-sum[0]就是答案辣~

还是谈一下学差分约束的想法：差分约束好像是oi时期挺偏的知识点（雾）。。。但是学一下发现就是转化为图论知识点，约束Ci-Cj<=A相当于Ci<=Cj+A，这样就是j到i连一条边长为A的边，跑最短路就能符合条件辣~这里显然会有负边（不然全0就符合约束辣），所以不能跑dijk哦。关于SPFA，它死了。所以不如直接跑简单好写的bellman-ford算法呢~

1004 Link with Equilateral Triangle

签到到，萌新不想做辣！

1005 Link with Level Editor II

矩阵雾，萌新的线代忘干净辣！

补辣补辣~好像这是我上大学后第一次正儿八经用矩阵知识解题（雾

具体操作比较简单，m*m转移矩阵存储转移状态，也就是a[i][j]存当前区间对应世界从i到j的方案数。可以将状态视为1*m的矩阵即到每个Node的方案数。显然最初状态矩阵只有1有1个方案（起始点），其余Node方案为0。所以对应矩乘结果的（状态*a）[1][m]表示获胜方案数。这个就是合法与否的条件辣~

要求是连续区间，所以顺序向后枚举右边界就可以辣~不合法时右移左边界，但由于矩阵不一定可逆，移动左边界这一相当于删除的操作不可进行。所以规避操作，用不删除栈黑科技即可解决~

不删除栈黑科技：区间为l,r，另有参数mid，[l,mid]以后缀形式存储（即本题的变换矩阵矩乘后缀），（mid,r]统一存储到一个矩阵之中，所以总的变换矩阵为（后缀矩阵[l,mid]*统一矩阵（mid,r]）。l<mid时正常右移左边界，但l=mid时右移左边界操作为l=r+1,mid=r，这时再左移左边界l重新计算后缀矩阵。这样左移左边界l会保持l>lastmid（因为之前右移l的原因是mid不合法辣~），所以每个点对应转移矩阵只会参与矩乘2次。所以这个方法的移动操作是O(n)的，再加上内部操作，总复杂度就是O(n*内操作复杂度)。如这题的矩乘，总复杂度为O（nm^3）。

最后还是谈一下学这个黑科技的感想：确实很有趣的一个知识点，有效的避免了删除操作可能带来的麻烦甚至是不可执行。内部思想关键是后缀提前计算删除的结果，但分左右两边的操作又保证了内部每个点至多参与2次运算，所以是O(N)的移动指针，很巧妙~

1006 BIT Subway

签到到，萌新不想做辣！

1007 Climb Stairs

嘤嘤嘤，贪心题！萌新发现有下面几个性质：

能+1就不跳
跳一次＋2的如果不回跳，跳过的就永远ByeBye辣
能跳到(i)就不跳到(i+1)，即找第一个能跳的

是萌新也能做的简单题呢(๑•̀ㅂ•́)و✧

1011 Link is as bear

线性基，萌新深夜加班刚刚学废辣o(*￣▽￣*)ブ

其实发现在有x!=y且a_x=a_y的条件下，必然有两个相邻的元素要么同时取，要么不同时取（换句话说，如果原来是间隔取数组元素，那么对于x和y,如果要异或a_x，那么不要异或a_x改为异或a_y;如果不要异或a_x，根据间隔情况选择同时不要异或a_y或者异或a_x和a_y）。

好辣！既然有两个相邻的元素同时取或不取，操作一下就发现可以为所欲为辣。因为同时取除非全取，在非全取时可以构造出两个连续不取的位置，两个连续不取就可以任意取与不取元素辣。所以，最后转化的题意是任意取元素使其异或和最大！

这时候就可拿出萌新刚学的线性基辣！板子一套，做完辣！

最后谈一下萌新学线性基的感悟：感觉这个算法有点类似于做一套向量的基底，这里就相当于是原数列的异或基底，它满足基底的基本性质，即最小和可表示所有原数列元素。求最大异或和也非常方便，基于二进制性质，从大到小枚举线性基每一位，当前答案缺则添不缺则continue就好辣。