Portal

Description

给出平面上的\(n(n\leq10^5)\)个整点。画两条直线\(x=x_0\)和\(y=y_0\)将这些点划分成\(s_1,s_2,s_3,s_4\)个点，最小化\(max\{s_1,s_2,s_3,s_4\}\)。

Solution

二分答案+线段树。
首先进行离散化，记录\(sumY[i]\)表示\(y\leq i\)的点的个数。
检查\(m\)是否合法时，枚举\(x_0\)并查找是否存在合法的\(y_0\)。将↖称为\(s_1\)，↙称为\(s_2\)，↗称为\(s_3\)，↘称为\(s_4\)。那么我们找到使得\(s_1,s_2\leq m\)的最大的\(y_0\)，然后检查\(s_3,s_4\)是否不超过\(m\)。我们将\(x\leq x_0\)的点加入线段树，在线段树上二分来找到最大的\(y_0\)使得线段树上\([1,y_0]\)中的点数和（即\(s_1\)）不超过\(m\)，\(s_2=sumY[y_0]-s_1\)也不超过\(m\)。找到\(y_0\)后检查\(s_3=sum[rt]-s_1,s_4=n-s_1-s_2-s_3\)是否均不超过\(m\)，若均合法则说明\(ans\leq m\)，否则继续枚举\(x_0\)。若对于所有\(x_0\)均不存在合法的\(y_0\)，则说明\(ans>m\)。

时间复杂度\(O(nlog^2n)\)。

Code

//[Usaco2016 Feb]Load balancing
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;
inline char gc()
{static char now[1<<16],*s,*t;if(s==t) {t=(s=now)+fread(now,1,1<<16,stdin); if(s==t) return EOF;}return *s++;
}
inline int read()
{int x=0; char ch=gc();while(ch<'0'||'9'<ch) ch=gc();while('0'<=ch&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=gc();return x;
}
const int N=1e5+10;
int n,nX,nY; int sumY[N];
struct point{int x,y;} pt[N];
bool cmpX(point x,point y) {return x.x<y.x;}
int mapX[N],mapY[N];
void discrete()
{for(int i=1;i<=n;i++) mapX[i]=pt[i].x,mapY[i]=pt[i].y;sort(mapX+1,mapX+n+1); nX=unique(mapX+1,mapX+n+1)-mapX-1;for(int i=1;i<=n;i++) pt[i].x=lower_bound(mapX+1,mapX+nX+1,pt[i].x)-mapX;sort(mapY+1,mapY+n+1); nY=unique(mapY+1,mapY+n+1)-mapY-1;for(int i=1;i<=n;i++) pt[i].y=lower_bound(mapY+1,mapY+nY+1,pt[i].y)-mapY;sort(pt+1,pt+n+1,cmpX);
}
const int Ns=4e5+10;
#define Ls (p<<1)
#define Rs (p<<1|1)
int rt,sum[Ns]; int clr[Ns];
int optL,optR;
void update(int p) {sum[p]=sum[Ls]+sum[Rs];}
void pushdw(int p) {if(clr[p]) sum[Ls]=sum[Rs]=0,clr[Ls]=clr[Rs]=true,clr[p]=false;}
void ins(int p,int L0,int R0,int x,int v)
{if(L0==R0) {sum[p]+=v; return;}pushdw(p);int mid=L0+R0>>1;if(x<=mid) ins(Ls,L0,mid,x,v);else ins(Rs,mid+1,R0,x,v);update(p);
}
int query1(int p,int L0,int R0,int s1,int x)
{if(L0==R0) return L0;pushdw(p);int mid=L0+R0>>1; int t1=s1+sum[Ls],t2=sumY[mid]-t1;if(x<t1||x<t2) return query1(Ls,L0,mid,s1,x);else return query1(Rs,mid+1,R0,t1,x);
}
int query2(int p,int L0,int R0)
{if(optL<=L0&&R0<=optR) return sum[p];pushdw(p);int mid=L0+R0>>1; int res=0;if(optL<=mid) res+=query2(Ls,L0,mid);if(mid<optR) res+=query2(Rs,mid+1,R0);return res;
}
bool check(int m)
{rt=1; sum[rt]=0,clr[rt]=true;for(int i=1,t=1;i<=nX;i++){while(pt[t].x==i) ins(rt,1,nY,pt[t].y,1),t++;if(sum[rt]>m+m) break;else if(n-sum[rt]>m+m) continue;int j=query1(rt,1,nY,0,m)-1;optL=1,optR=j; int s1=query2(rt,1,nY);int s2=sumY[j]-s1,s3=sum[rt]-s1,s4=n-s1-s2-s3;if(s1>m||s2>m) printf("query1 GG\n");if(s3<=m&&s4<=m) return true; }return false;
}
int main()
{n=read();for(int i=1;i<=n;i++) pt[i].x=read(),pt[i].y=read();discrete();for(int i=1;i<=n;i++) sumY[pt[i].y]++;for(int i=1;i<=nY;i++) sumY[i]+=sumY[i-1];int L=n/4-1,R=n;while(L<=R){int mid=L+R>>1;if(check(mid)) R=mid-1;else L=mid+1;}printf("%d\n",L);return 0;
}

P.S.

sro Icefox的\(O(nlogn)\)做法 orz，比我强多啦