Python绘制Mandelbrot Set与Julia Set

看了这篇文章感觉画出一个分形并不是想像的那么难，并且被这美丽而又统一的图案深深的吸引了。所以决定用Python绘Mandlebrot Set和Julia Set。因为两个集合是同一个式子的不同参数的递归，并且Mandlebrot是对Julia的一种概括，可以点击Mandlebrot Set中的一点，观察对应Julia Set的变化或许更为直观，也更能体会两者其中美妙的关联。

计算思路

Mandlebrot Set 与 Julia Set都是对z^2+c的迭代，不同的是，Mandlebrot Set是将复平面每一点带入c，z的初始值为0。Julia Set是将复平面的每一个值带入z，c是一个固定值有我们点Mandlebrot Set上的一点得到。c决定了Julia Set的形状，Mandlebrot Set便是选取所有的c在z=0时的切片，包含了所有的Julia Set的特征。这个式子有四个参数控制，分别是z，c的实部和虚部，两个集合分别是这个四维图像的投影。

如何上色

一般不采取迭代一定次数后|z|对应到Color Map，那样颜色很杂乱，到最后的结果会很难受。只需要采取很简单的方法就可以做到，就是使用逃逸速度，对每一点进行迭代，|z|大于2的时候就知道继续迭代下去肯定发散，记录此时已经迭代的次数，对应Color Map即可。

前提

安装matplotlib和numpy，Anaconda已经包含这些。matplotlib包含了简单的color map，直接用就好了，看起来也很漂亮。numpy则是可以直接像matlab一样对所有的元素进行计算，速度快而且简单。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltjulia_C = -0 + 0jdef julia_set(x, y):z = np.array(x + 1j * y)r = np.zeros(z.shape)m = np.ones(z.shape, dtype=bool)for i in range(24):z[m] = z[m] ** 2 + julia_Cm = np.abs(z) < 2r += mreturn rdef mandelbrot_set(x, y):c = np.array(x + 1j * y)z = np.zeros(c.shape, dtype=complex)r = np.ones(c.shape)m = np.ones(c.shape, dtype=bool)for i in range(50):z[m] = z[m] ** 2 + c[m]m = np.abs(z) < 2r += mreturn rdef complex_str(c):return np.array_str(np.array([julia_C]), suppress_small=True, precision=3)def grid(width, offset, n):x = np.linspace(-width + offset, width + offset,n)y = np.linspace(-width, width, n)return np.meshgrid(x,y), (x.min(), x.max(), y.min(), y.max())fig, (ax, bx) = plt.subplots(1, 2)
ax.set_title("Mandelbrot Set(Mirror to Julia Set)")
bx.set_title("Julia Set c=" + complex_str(julia_C))(X, Y), extent = grid(2, 0, 1000)
cf = ax.imshow(mandelbrot_set(X,Y), extent=extent)(X, Y), extent = grid(2, 0, 1000)
julia = julia_set(X, Y)
img = bx.imshow(julia, extent=extent, cmap="gray")def onclick(event):if event.inaxes != ax: returnglobal X, Y, julia_Cjulia_C = event.xdata + 1j * event.ydatajulia = julia_set(X, Y)img.set_data(julia)bx.set_title("Julia Set c=" + complex_str(julia_C))fig.canvas.draw_idle()fig.canvas.mpl_connect('button_press_event', onclick)
plt.tight_layout()
plt.show()

选择相近的Mandlebrot Set区域，对应的Julia Set也会有很大的相似性