狭义相对论的洛伦兹变换几何推导

考虑时空中的一条直线，选定一个原点，代表ABAB两点在时空中重叠事件。A，BA，B两点相对以速度uu相对匀速运动。该运动的时空图可以用二维仿射空间表示，对任意质点建立自己在时空中建立仿射坐标系。下面分别建立分别相对AA静止的和相对BB静止的两个坐标，分别记为AA系和BB系，AA系和BB系同一时空中的两个不同坐标系。本文分别讨论两个坐标系中，AA的世界线、BB的世界线和光子的世界线，以求得坐标变换式。

（注：世界线是质点在时空中的运动的描述，在惯性系中静止的质点世界线平行于时间轴；匀速运动或静止的质点世界线为直线，可以用一个矢量代表其世界线的方向。）

为了简化运算，我们假定某个时刻，ABAB两个质点重合，以此点为原点建立分别相对于A、BA、B两点静止的两个坐标系。假设在某个坐标系下光速为cc，ABAB相对速度为uu；适当调整单位比如时间取秒，空间单位取光秒，这时光速为1，在该单位下面，ABAB相对速度数值为u/cu/c,下文中取v=u/cv= u/c.

1. 光子、B点的世界线在A系中的表达

假定AA静止，为AA建立时空坐标基矢。在二维时空中，取一个向量e1e_1为时间轴，e2e_2为AA的同时面方向（考虑到空间只分析一维，同时面其实是直线）。适当选取不同的时间轴和同时面方向向量，可以使得光线的世界线方向为：

la=e1+e2(1)

l_a=e_1+e_2 \qquad (1)
在此坐标系下，B的世界线方向为：

Tb=(e1+ve2)

T_b=(e_1+ve_2)

2. 光子、AA点的世界线在BB系中的表达

根据狭义相对性原理，建立B的坐标系应当与A有相同的表达式，做字母替换即可（但是应当注意，选定好速度的方向之后，AB的方向是相反的，v有号差）。

现在假定BB系为参考系，BB静止，AA运动，取一个方向ϵ1ϵ_1为时间轴，ϵ2ϵ_2为BB的同时面方向。
AA系和BB系对光子世界线方向描述一致：

lb=ϵ1+ϵ2(2)

l_b=ϵ_1+ϵ_2 \qquad (2)
在此坐标系下，AA的世界线方向为：

Ta=(ϵ1−vϵ2)

T_a=(ϵ_1-vϵ_2)

3. 相对性原理

考虑BB质点的世界线方向，其在AA坐标系是TbT_b，在BB的坐标看ϵ1ϵ_1，因此这两个向量方向相同，“长度”相差常数因子为φφ，有：

φTb=ϵ1=φ(e1+ve2)(3)

φT_b=ϵ_1=φ(e_1+ve_2) \qquad (3)
同理得到（注意，根据相对性原理，坐标表达式应当一致，所以两个方程的常数因子相同，都是φ）：

φTa=e1=φ(ϵ1−vϵ2)(4)

φT_a=e_1=φ(ϵ_1-vϵ_2) \qquad (4)

4. 求解基变换矩阵

联合(3),(4)(3),(4)，得到AA的同时面在BB系中的表达式：

ϵ1=φ(φ(ϵ1−vϵ2)+ve2)⟹e2=(1−φ2)/φvϵ1+φϵ2(5)

ϵ_1=φ(φ(ϵ_1-vϵ_2 )+ve_2 )⟹e_2=(1-φ^2)/φv ϵ_1+φϵ_2 \qquad (5)
同样有 BB的同时面在AA系中的表达式：

e1=φ(φ(e1+ve2)−vϵ2)⟹ϵ2=(φ2−1)/φve1+φe2(6)

e_1=φ(φ(e_1+ve_2)-vϵ_2)⟹ ϵ_2=(φ^2-1)/φv e_1+φe_2 \qquad (6)

考察光子世界线，在ABAB两个坐标系下的表达式分别为(1),(2)(1),(2)两式，都表示光子世界线方向，方向应当相同，相差一个常数因子，即：

la=slb=e1+e2=s(ϵ1+ϵ2)

l_a=sl_b=e_1+e_2=s(ϵ_1+ϵ_2)
可以得到：

e1+e2=φ(ϵ1−vϵ2)+(1−φ2)/φvϵ1+φϵ2=(φ+(1−φ2)/φv)ϵ1+(φ−φv)ϵ2=s(ϵ1+ϵ2)⇒s=(φ+(1−φ2)/φv)=(φ−φv)⇒φ2(1−v2)=1

e_1+e_2= φ(ϵ_1-vϵ_2 )+(1-φ^2)/φv ϵ_1+φϵ_2 \\ =(φ+(1-φ^2)/φv) ϵ_1+(φ-φv) ϵ_2=s(ϵ_1+ϵ_2) \\ ⇒s=(φ+(1-φ^2)/φv)=(φ-φv) \\ ⇒ φ^2 (1-v^2 )=1
所以有 φ=1/1−v2−−−−−√φ=1/\sqrt{1-v^2 } ， (1−φ2)/φv=φv(1-φ^2)/φv=φv
由此有基矢变换为：

(e1e2)=11−v2−−−−−√(1vv1)(ϵ1ϵ2)

\begin{pmatrix} e_1 \\ e_2 \end{pmatrix} =\frac{1}{\sqrt{1-v^2 }}\begin{pmatrix}1 & v \\ v&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} ϵ_1 \\ ϵ_2 \end{pmatrix}

5. 坐标变换

在A坐标系中，任意点xe1+te2xe_1+te_2,在BB系中表示为：yϵ1+sϵ2yϵ_1+sϵ_2;则有：

(xt)=11−v2−−−−−√(xt)(1vv1)(ϵ1ϵ2)=(ys)(ϵ1ϵ2)

\begin{pmatrix} x & t \end{pmatrix} =\frac{1}{\sqrt{1-v^2 }}\begin{pmatrix} x & t \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & v \\ v&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} ϵ_1 \\ ϵ_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} y & s \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ϵ_1\\ ϵ_2 \end{pmatrix} \\

⇒(ys)=11−v2−−−−−√(xt)(1vv1)

\Rightarrow \begin{pmatrix} y & s \end{pmatrix} =\frac{1}{\sqrt{1-v^2 }}\begin{pmatrix} x & t \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & v \\ v&1\end{pmatrix}

得到：

y=(x+vt)/1−v2−−−−−√，s=(vx+t)/1−v2−−−−−√

y= (x+vt)/\sqrt{1-v^2 }，\quad s=(vx+t)/\sqrt{1-v^2 }

取光速为cc ，ABA B 相对速度为uu,即v=u/cv=u/c则有变换式如下：

y=x+ut/c1−（u/c)2−−−−−−−−−√

y=\frac {x+ut/c}{\sqrt{1-（u/c)^2 }}，

s=(ux/c+t)1−（u/c)2−−−−−−−−−√

s=\frac {(ux/c+t)}{\sqrt{1-（u/c)^2 }}

备注：

同一时空中涉及到的五个矢量，分别是A的世界线、同时面，B的世界线、同时面，光子的世界线及其之间的关系如下图：