[转载] gamma函数stiriling公式_数学笔记|特殊函数(1):Gamma函数

参考链接： Python数学库math | gamma()函数

使用教材：

王竹溪,郭敦仁.特殊函数概论

设

，积分

称为

Gamma函数(第二类Euler积分)。

性质1：Gamma函数有递推关系

。

证明：

性质2：设

.（性质1的推广，易证）。

显然

，可认为Gamma函数是

的极限，做换元

，注意范围并做

次分部积分有：

据此得

，注意

得：

这个式子被称为Euler无穷乘积，是Gamma函数的普遍定义式。

在上述的过程中，我们还可以把因子表示为：

因此，可以得到

，这个式子被称为

Weierstrass无穷乘积，其中

称为

Euler常数，

。

根据Weierstrass无穷乘积，易得

，令

，结合定义和上述结果易得

，这个式子被称为

Wallis乘积。据此给出乘积公式：

证明：我们令

，易得：

说明

是无关的，易证乘积公式，余下略。

本文仅作为作者的个人笔记，若有读者则请谨慎阅读。

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