拓端tecdat|R语言中GLM(广义线性模型)，非线性和异方差可视化分析

2024-06-02 07:46:51

原文链接：http://tecdat.cn/?p=13839

原文出处：拓端数据部落公众号

上周在课程中，我们了解了广义线性模型的理论，强调了两个重要组成部分

链接函数（这实际上是在预测模型的关键）
分布或方差函数

考虑数据集

lin.mod = lm(dist~speed,data=cars)

线性模型

$Y_i=\beta_0+\beta_1 X_i +\varepsilon_i$

假设残差独立且具有相同的方差。如果我们可视化线性回归，会看到：

这里的想法（在GLM中）是假设

$Y\vert X=x\sim\mathcal{N}( \beta_0+\beta_1 x,\sigma^2)$

它将基于某些误差项生成与先前描述的模型相同的模型。该模型可以在下面看到，

C=trans3d(c(x,x),c(y,rev(y)),c(z,z0),mat)
polygon(C,border=NA,col="light blue",density=40)
C=trans3d(x,y,z0,mat)
lines(C,lty=2)
C=trans3d(x,y,z,mat)
lines(C,col="blue")}

这里确实有两部分：平均值的线性增加 $\mathbb{E}(Y\vert X=x)=\beta_0+\beta_1 x$ 和正态分布的恒定方差 $\text{Var}(Y\vert X=x)=\sigma^2$ 。

另一方面，如果我们假设泊松回归，

poisson.reg = glm(dist~speed,data=cars,family=poisson(link="log"))

我们有这样的结果

有两件事同时发生了变化：我们的模型不再是线性的，而是指数的 $\mathbb{E}(Y\vert X=x)=e^{\beta_0+\beta_1 x}$ ，并且方差也随着解释变量的增加而增加 $\text{Var}(Y\vert X=x)=e^{\beta_0+\beta_1 x}$ ，因为有了泊松回归，

$Y\vert X=x\sim\mathcal{P}(e^{ \beta_0+\beta_1 x})$

如果改编前面的代码，我们得到

问题是，当我们从线性模型引入Poisson回归时，我们改变了两件事。因此，让我们看看当我们分别更改两个组件时会发生什么。首先，我们可以使用高斯模型来更改链接函数，但是这次是乘法模型（具有对数链接函数）

这次是非线性的。或者我们可以在Poisson回归中更改链接函数，以获得线性模型，但异方差

因此，这基本上就是GLM的目的。

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