斐波那契数列连续十项的和

f1,f2,f3,f4,f5,f6,f7,f8,f9,f10

f_1,f_2,f_3,f_4,f_5,f_6,f_7,f_8,f_9,f_{10}

不限制起点，也即对 f1,f2f_1, f_2的值不要求为标准的 0,1/1,1，取值随意。

不妨设：f1=x,f2=yf_1=x,f_2=y，则有：

f1=xf_1=x
f2=yf_2=y
f3=x+yf_3=x+y
f4=x+2yf_4=x+2y
f5=2x+3yf_5=2x+3y
f6=3x+5yf_6=3x+5y
f7=5x+8yf_7=5x+8y
f8=8x+13yf_8=8x+13y
f9=13x+21yf_9=13x+21y
f10=21x+34yf_{10}=21x+34y

所以其和为：

f1+f2+f3+f4+⋯+f10=x+y+(x+y)+(x+2y)+(2x+3y)+⋯+(21x+34y)=55x+88y=11(5x+8y)=11⋅f7

\begin{split}f_1+f_2+f_3+f_4+\cdots+f_{10}&=x+y+\left(x+y\right)+\left(x+2y\right)+\left(2x+3y\right)+\cdots+\left(21x+34y\right)\\&=55x+88y=11\left(5x+8y\right)=11\cdot f_7\end{split}

也即任意斐波那契的连续十项的和是其第 7 项的11倍。

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