20162325 2017-2018-2 《程序设计与数据结构》第7周学习总结

教材学习内容概要

树是非线性结构，其元素组织为一个层次结构
树的度表示树种任意结点的最大子结点数
有m个元素的平衡n叉树的高度是log n底m
树的遍历有4种方法
进行层序遍历时可用队列来储存树中的元素使用数组实现二叉树时，位于位置n的元素的左孩子在（2n+1）的位置，其右孩子在（2*（n+1））的位置
树的基于数组存储实现方式可以占据数组中的连续位置，不管树是不是完全树
如何在一般二叉树中添加及删除元素，要取决于树的用途
使用决策树可以设计专家系统

树

• 树（tree）是n( n≥0 )个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一棵非空树中：（1）有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；（2）当 n>1 时，其与结点可分为m( m>0 )个互不相交的有限集 T1,T2,...,Tm，其中每个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（SubTree）。

结点分类

• 结点拥有的子树数称为结点的度。度为0的结点称为叶结点（Leaf）或终端结点。除根结点外，分支结点也称为内部结点。树的度是树内各结点的度的最大值。

结点间关系

• 结点的子树的根称为该结点的孩子，相应地，该结点成为孩子的双亲。同一个双亲的孩子之间互称兄弟。结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点，反之，以某结点为根的子树的任一结点都称为该结点的子孙。

其他相关概念

• 结点的层次（Level）从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层。双亲在同一层的结点互称为堂兄弟。树中结点的最大层次成为树的深度（Depth）或高度。

• 若树中结点的各子树堪称从左到右是有次序的，不能互换的，则称该树为有序树，否则称为无序树。

• 森林（Forest）是m( m≥0 )棵互不相交的树的集合。

• 二叉树的结点度数至多为2

• 已知先序序列和后序序列,无法唯一确定一棵二叉树（另外两种可以）；只知三者中一种，也不行

比较线性结构和树结构

二叉树

• 二叉树（Binary Tree）是n（n≥0）个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

• 二叉树特点：
  1.每个结点最多有两棵子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。没有子树或者有一棵子树是可以的，最多有两棵子树。
  2.左子树和右子树是有顺序的，次序不能颠倒。
  3.即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。

• 二叉树具有五种基本形态：1.空二叉树；2.只有一个根结点；3.根结点只有左子树；4.根结点只有右子树；5.根结点既有左子树又有右子树。

特殊二叉树

斜树

• 所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有的结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这二者统称为斜树。斜树有明显特点，每一层都只有一个结点，结点的个数和二叉树的深度相同。斜树和线性表结构一样，线性表结构是树的一种特殊表现形式。

满二叉树

• 在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。单是每个节点都存在左右子树，不能算是满n二叉树，还必须要所有的叶子结点都在同一层上，这样就做到了整棵树的平衡。所以，满二叉树的特点是：1.叶子只能出现在最下一层，出现在其他层就不能达到平衡；2.非叶子结点的度一定是2；3.在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点最多，叶子数最多。

完全二叉树

• 对一棵具有n个结点的二叉树 按层序编号 ，如果编号为i（1≤i≤n）的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这颗二叉树称为完全二叉树。

• 完全二叉树的特性：
  （1）叶子结点只能出现在最下两层。
  （2）最下层的叶子一定集中在左部连续位置。
  （3）倒数第二层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置。
  （4）如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即不存在只有右子树的情况。
  （5）同样结点数的二叉树，完全二叉树的深度最小。

二叉树的性质

性质一：在二叉树的第i层上至多有 2^(i−1) 个结点（i≥1）。—–归纳法

性质二：深度为k的二叉树至多有 (2^k) −1 个结点（k≥1）。—–归纳法

性质三：对任何一棵二叉树T，如果其叶结点数为 n0，度为2的结点数为 n2，则 n0=n2+1。

设 n1 为度是1的结点数，那么T结点总数 n=n0+n1+n2 。换个角度，数数连接连线，因为根结点只有分支出去，没有分支进入，所以分支线总数为结点总数减去1，分支线总数为 n−1=n1+2n2 ，两个式子相减得到 n0=n2+1。
性质四：具有n个结点的完全二叉树的深度为 |log2底n|+1（其中|x|表示不大于x的最大整数）。

性质五：如果对一棵有n个结点的完全二叉树（深度为 |log2底n|+1）的结点按层序编号（从第1层到第 |log2底n|+1层，每层从左到右），对任一结点i（1≤i≤n）有：
1.如果 i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果 i>1，则其双亲是结点|i/2|。
2.如果2i>n，则结点i无左孩子（结点i为叶子结点）；否则其左孩子是结点2i。
3.如果2i+1>n，则结点i无右孩子；否则其右孩子是结点2i+1。

教材学习中的问题和解决过程

• 问题1：课上测验第一题中问“有100个结点的完全二叉树的叶结点数是多少?” 按二叉树性质二，深度为k的二叉树至多有 2k−1 个结点，假设是满二叉树，则当k=7时最接近101，所以是7层，可计算前6层有63个结点，即第七层有100 - 63 =37个叶结点，但在看到完全二叉树与满二叉树的区别中写“完全二叉树最下层上的结点都集中在该层最左边的若干位置上”，又【倒数第二层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置】，故认为最下层有且只能有左结点，倒数第二层有且只能有右结点，理解不了为什么“第六层有32-19=13个叶子节点”中的19是如何得出的，按道理第六层应该不含叶结点才对，因为都与第七层相连了。

• 问题1解决方案：通过张之睿同学的解释，“完全二叉树最下层上的结点都集中在该层最左边的若干位置上”其实是指靠左排布，倒数第二层也是靠右排布，第七层的37个叶节点要占第六层19个节点（37/2=18余1,18个结点满度），所以减19，总共50个叶子结点。

代码调试中的问题和解决过程

• 问题1：在实现书上代码时,BTNode类和LinkedBinaryTree类中有一个没出现过的类——ArrayIterator，java的包里找到，询问搭档也无果。

• 问题1解决方案：娄老师找了三个版本的教材，但未能找到这个类，尚待解决。

代码托管

上周考试错题总结

本周结对学习情况

• 20162311
• 结对学习内容
  - 二叉树的性质
  - 课堂练习题

其他（感悟、思考等，可选）

• 这周学的树，与以往的线性结构不同，虽然对课堂上讲的性质与练习题，接受上没有问题，但课下对几种遍历的实现理解起来还是很困难，希望通过更多的查看相关博客和尝试编码，能够基本顺利完成下堂课的实验……（虽然还是害怕

学习进度条

• 计划学习时间: 18小时

• 实际学习时间: 18小时

• 改进情况：多思考，多总结

参考资料

• 《Java程序设计与数据结构教程（第二版）》

• 《Java程序设计与数据结构教程（第二版）》学习指导
• 树PPT

• CSDN博客