数值计算方法——不动点迭代和牛顿迭代法

不动点迭代和牛顿迭代法

MATLAB基础
- feval函数
- format long
- syms x
简单迭代法【不动点迭代】
Newton 迭代法
作业

MATLAB基础

feval函数

用于求函数值

基本使用格式：y=feval(fhandle, x)
%fhandle——函数表达式，x——变量值[y1, y2, ...] = feval(fhandle, x1,..., xn)

format long

设置输出格式，表示高精度输出

syms x

定义符号变量，用于占位符占位！

简单迭代法【不动点迭代】

大致讲解：

不动点可看成 y=φ(x)与y=xy=φ(x)与y=xy=φ(x)与y=x 的交点

MATLAB实现：

function [x,count]=Simple_iterative_method(x0,tol)
format long    %High precision output
error=1;    %The value of the initialization error
count=0;    %Initialization counter
while error>tol  %Shutdown criteriax=f(x0);   %Function to be solvederror=abs(x-x0);  %Update the error of each stepx0=x;  %Update iteration pointcount=count+1;
end
end%%Definition of function to be solved
function f=f(x)
f=(10/(4+x))^(1/2);
end

测试文件：

clear;  %Empty variable
clc;   %Clear screen
tol=1e-9;  %Set the required precision
x0=1.5;  %Exact solution of the point near
[x,count]=Simple_iterative_method(x0,tol);  %Use simple iterative algorithm
disp('The exact solution is as follows:')
disp(x);
disp('Number of iterations required:')
disp(count);

结果展示：

Newton 迭代法

matlab算法实现

function [x,count]=Newton_it(x0,tol)
format long
error=1;
count=0;
while error>tolx=x0-f(x0)/df(x0);  %Newton iteration schemeerror=abs(x-x0);   x0=x;count=count+1;
end
end%%Enter the function test below
function f=f(x0)
syms x;                %Defining symbolic variables
m(x)=x^2-115;
f=vpa(m(x0));      %Calculate the value of the symbolic variable
endfunction df=df(x0)  %Calculating the first derivative of a function
syms x;                %Defining symbolic variables
m(x)=x^2-115;
df(x)=diff(m(x));
df=vpa(df(x0));
end

测试文件

clear;  %Empty variable
clc;   %Clear screen
x0=10;
tol=1e-6;
[x,count]=Newton_it(x0,tol);
disp('The exact solution is as follows:')
disp(x);
disp('Number of iterations required:')
disp(count);

结果展示：

作业

用两种迭代方式求解一个多项式的根，多项式满足下面两个条件：
（1）7次多项式
（2）系数在(0,7] 之间
要求：写出收敛阶、收敛速度、初值
求出下面方程的根并作图x2+(54y−∣x∣)2−4=0x^{2}+\left ( \frac{5}{4}y-\sqrt{|x|} \right )^{2}-4=0x2+(45y−∣x∣)2−4=0
初值（这个方程的初值不好找！）

尝试解答：

1.如何生成一个随机整数向量（满足第二个条件叭）

round(rand(1,5)*6+1)

2.构造随机多项式

function f=ex6_1(x0,p0)     %Constructing polynomials
syms x;                %Defining symbolic variables
y(x)=poly2sym(p0);
disp(y(x));
f=vpa(y(x0));      %Calculate the value of the symbolic variable
end

p0=round(rand(1,8)*6+1);
%If you put it in a function, every time you call the function, a polynomial will be generated randomly
x0=2;
f=ex6_1(x0,p0);
disp(f);
x0=0;
f=ex6_1(x0,p0);
disp(f);

输出结果：

3.尝试使用简单迭代法

function [x,count]=Simple_iterative_method(x0,tol)
format long    %High precision output
error=1;    %The value of the initialization error
count=0;    %Initialization counter
while error>tol  %Shutdown criteriax=f(x0);   %Function to be solvederror=abs(x-x0);  %Update the error of each stepx0=x;  %Update iteration pointcount=count+1;
end
end%%Definition of function to be solved
function f=f(x0)
syms x;                %Defining symbolic variables
p0=round(rand(1,8)*6+1);  %Each time the function is called, a random polynomial is constructed
y(x)=poly2sym(p0);
f=vpa(y(x0));      %Calculate the value of the symbolic variable
end

clear;  %Empty variable
clc;   %Clear screen
tol=1e-9;  %Set the required precision
x0=0;  %Exact solution of the point near
[x,count]=Simple_iterative_method(x0,tol);  %Use simple iterative algorithm
disp('The exact solution is as follows:')
disp(x);
disp('Number of iterations required:')
disp(count);

输出结果（这是什么东西…）：

构造多项式并改写成 x=ϕ(x)x=\phi(x)x=ϕ(x) 的形式

function [f,df]=ex6_1(x0,p0)
syms x;                %Defining symbolic variablesS
y(x)=poly2sym(p0);
% disp('This is a randomly generated equation of degree 7')
% disp(y(x));
q(x)=((y(x)-p0(6)*x^2)/(-p0(6)))^(1/2);
% disp('This is phi(x)');
% disp(q(x));
f=vpa(q(x0));      %Calculate the value of the symbolic variable
df(x)=diff(q(x));
df=vpa(df(x0));
end

function [x,count]=Newton_it(x0,tol)
format long
error=1;
count=0;
p0=round(rand(1,8)*6+1);
while error>tol && count <50[f,df]=ex6_1(x0,p0);x=x0-f/df;  %Newton iteration schemeerror=abs(x-x0);disp('error:')disp(error);x0=x;count=count+1;
end
end

clear;  %Empty variable
clc;   %Clear screen
x0=10;
tol=1e-3;
[x,count]=Newton_it(x0,tol);
disp('The exact solution is as follows:')
disp(x);
disp('Number of iterations required:')
disp(count);

function [x,count]=Simple_iterative_method(x0,tol)
format long    %High precision output
error=1;    %The value of the initialization error
count=0;    %Initialization counter
p0=round(rand(1,8)*6+1);
disp(p0);
while error>tol && count<20 %Shutdown criteriax=ex6_1(x0,p0);   %Function to be solveddisp(x0);count=count+1;error=abs(x-x0);disp('it is error');disp(error);x0=x;
end
end

clear;  %Empty variable
clc;   %Clear screen
tol=1e-5;  %Set the required precision
x0=0;  %Exact solution of the point near
[x,count]=Simple_iterative_method(x0,tol);  %Use simple iterative algorithm
disp('The exact solution is as follows:')
disp(x);
disp('Number of iterations required:')
disp(count);

close all;
clear all;
clc;
ezplot('x^2+((5/4)*y-sqrt(abs(x)))^2-4=0',[-3,3])
grid on

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