Mathematics

Brainteasers Part 1

1. Successive Powers

给了一个数组

是x的连续阶乘对p取模的结果

p为三位素数

记t=[588, 665, 216, 113, 642, 4, 836, 114, 851, 492, 819, 237]

则有
t 0 ∗ x ≡ t 1 m o d p t 1 ∗ x ≡ t 2 m o d p . . . t 10 ∗ x ≡ t 11 m o d p t_0*x\equiv t_1\mod p\\ t_1*x\equiv t_2\mod p\\ ...\\ t_{10}*x\equiv t_{11}\mod p t0∗x≡t1modpt1∗x≡t2modp...t10∗x≡t11modp
即
x = t 1 ∗ t 0 − 1 m o d p x = t 2 ∗ t 1 − 1 m o d p . . . x = t 11 ∗ t 10 − 1 m o d p x=t_1*t_0^{-1}\mod p\\ x=t_2*t_1^{-1}\mod p\\ ...\\ x=t_{11}*t_{10}^{-1}\mod p\\ x=t1∗t0−1modpx=t2∗t1−1modp...x=t11∗t10−1modp
p为三位素数，直接爆破即可

t = [588, 665, 216, 113, 642, 4, 836, 114, 851, 492, 819, 237]
pmin = max(t)+1for p in trange(pmin,0x3f3f3f3):try:x = [(t[i]*invert(t[i-1],p))%p for i in range(1,ll)]if len(set(x)) == 1:print(p,x)except:pass

结果p=919，x=209
flag为crypto{p,x}

2. Adrien’s Signs

加密函数

随机量为n，为指数部分

使用离散对数sympy.discrete_log

exec('c='+open("D:\\Downloads\\output_80fc6398d2fd9f272186d0af510323f9.txt").read())
from sympy import discrete_log as dl
from tqdm import *
ff = ''
for i in trange(len(c)):cc = c[i]try:r = dl(p,cc,a)ff += '1'except:r = dl(p,-cc%p,a)ff += '0'
print(ff)
from number import *
print(l2b(int(ff,2)))

3. Modular Binomials

给了N,e1,e2,c1,c2，要求得p,q

Factordb能分解

4. Broken RSA

给了n,e,c
注意到e为16，并且有
m e ≡ c m o d n ( m 8 ) 2 ≡ c m o d n m^e\equiv c\mod n\\ (m^8)^2\equiv c\mod n me≡cmodn(m8)2≡cmodn
题目已经明确的给了提示

If you think you’re doing the right thing but getting garbage, be sure to check all possible solutions.

注意，这个方程会有两个解，两个都要考虑并进行下一步计算。

第一步能得到 m 8 m^8 m8 的值，记为r8，以此类推,有
( m 4 ) 2 ≡ r 8 m o d n ( m 2 ) 2 ≡ r 4 m o d n m 2 ≡ r 2 m o d n (m^4)^2\equiv r8\mod n\\ (m^2)^2\equiv r4\mod n\\ m^2\equiv r2\mod n (m4)2≡r8modn(m2)2≡r4modnm2≡r2modn
由此解出m的值

# Sage
n = 27772857409875257529415990911214211975844307184430241451899407838750503024323367895540981606586709985980003435082116995888017731426634845808624796292507989171497629109450825818587383112280639037484593490692935998202437639626747133650990603333094513531505209954273004473567193235535061942991750932725808679249964667090723480397916715320876867803719301313440005075056481203859010490836599717523664197112053206745235908610484907715210436413015546671034478367679465233737115549451849810421017181842615880836253875862101545582922437858358265964489786463923280312860843031914516061327752183283528015684588796400861331354873
e = 16
ct = 11303174761894431146735697569489134747234975144162172162401674567273034831391936916397234068346115459134602443963604063679379285919302225719050193590179240191429612072131629779948379821039610415099784351073443218911356328815458050694493726951231241096695626477586428880220528001269746547018741237131741255022371957489462380305100634600499204435763201371188769446054925748151987175656677342779043435047048130599123081581036362712208692748034620245590448762406543804069935873123161582756799517226666835316588896306926659321054276507714414876684738121421124177324568084533020088172040422767194971217814466953837590498718from number import *R.<x> = Zmod(n)[]
f = x^2-c
r8 = [i[0] for i in f.roots()]
r4,r2,r = [],[],[]for rr8 in r8:f = x^2 - rr8r4 += [i[0] for i in f.roots()]for rr4 in r4:f = x^2 - rr4r2 += [i[0] for i in f.roots()]for rr2 in r2:f = x^2 - rr2r += [i[0] for i in f.roots()]for m in r:print(l2b(m))

得到

flag是crypto{m0dul4r_squ4r3_r00t}

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