韦伯分布的定义

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二参数韦伯分布的累计分布函数CDF为：F(x)=1−exp[−(xb)a]F(x) = 1 - exp[ - (\frac{x}{b})^a ] F(x)=1−exp[−(bx)a]

概率密度函数为：
f(x)=ab(xb)a−1exp[−(xb)a]f(x) = \frac{a}{b}(\frac{x}{b})^{a-1} exp[-(\frac{x}{b})^a] f(x)=ba(bx)a−1exp[−(bx)a]

其中，a>0，为形状参数，b>0为尺度参数

拟合方法的原理

采用最小二乘法求解参数a,b：

对累计分布函数两边取双对数后可以得到：ln[−ln(1−F(x))]=aln(x)−alnbln[-ln(1-F(x))] = a ln(x) - a lnb ln[−ln(1−F(x))]=aln(x)−alnb

改写为Y=Bx+A,则：

Y=ln[−ln(1−F(x))]Y = ln[-ln(1-F(x))] Y=ln[−ln(1−F(x))]

X=ln(x)X = ln(x) X=ln(x)

B=aB = a B=a

A=−alnbA = -alnb A=−alnb

用最小二乘法求解系数：

B=∑(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)∑(Xi−Xˉ)2B = \frac{\sum (X_i - \bar X)(Y_i - \bar Y)}{\sum (X_i - \bar X)^2} B=∑(Xi−Xˉ)2∑(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)
A=Yˉ−bXˉA = \bar{Y} - b \bar{X} A=Yˉ−bXˉ
a=Ba = B a=B
b=exp[−(Yˉ−BXˉ)/a]b = exp[-(\bar{Y}-B \bar{X})/a] b=exp[−(Yˉ−BXˉ)/a]

python代码实现

from scipy.stats import exponweib
import numpy as np
import statsmodels.api as sm
import matplotlib.pyplot as plt
import mathdef Cal_Weibull_CDF(data):cdf = sm.distributions.ECDF(data)data_min = min(data)data_max = max(data)x = np.linspace(data_min+1.0,data_max-1.0,num=100,endpoint=True)X = np.log(x) # X = ln(x)Y = np.log(-np.log(1.0-cdf(x))) # Y = ln[-ln[1-F(x)]]coef = np.polyfit(X,Y,1)a = coef[0]b = math.exp(-coef[1]/a)fcdf = lambda x: 1-np.exp(-np.power(x/b,a))return fcdf# 用exponweib生成符合weibull分布的随机数组
n = 100     # number of samples
k = 2.89    # shape
lam = 1.95  # scale
obs = exponweib.rvs(k, lam, scale=20,size=n)ocdf = sm.distributions.ECDF(obs)
# 拟合
fcdf = Cal_Weibull_CDF(obs) # 画图
x = np.linspace(0,50,num=100,endpoint=True)
y1 = ocdf(x)
y2 = fcdf(x)plt.figure()
plt.plot(x,y1,color='blue',label='O')
plt.plot(x,y2,color='black',label='F')
plt.legend()
plt.show()

拟合结果：

参考

Weibull分布参数估计方法及其应用_张秀芝

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【Python】韦伯分布的拟合

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韦伯分布的定义

拟合方法的原理

python代码实现

参考

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