【学习笔记】第六章 整数规划和非线性规划
目录
6.1 整数规划
6.1.1 整数规划问题与求解
6.2 非线性规划
6.2.1 非线性规划概念和理论
1. 非线性规划模型
2. 无约束非线性规划的求解
3. 有约束非线性规划的求解
6.2.2 非线性规划的python求解
1.用scipy.optimize模块的minimize函数求解
2. 用cvxopt.solvers模块求解二次规划模型
3. 用cvxpy库求解
6.2.3 飞行管理问题
6.1 整数规划
纯整数规划：所有决策变量都限定为整数
混合整数规划：仅一部分变量限定为整数
0-1整数规划：决策变量仅限于0或1
6.1.1 整数规划问题与求解
- 分支界定法：可求纯或混合整数线性规划
- 割平面法：可求纯或混合整数线性规划
- 隐枚举法：可求解0-1整数规划，有过滤隐枚举法和分支隐枚举法
- 匈牙利法：解决指派问题（0-1整数规划特殊情形）
- Monte Carlo法：求解各种类型规划
例6.1 求解下列整数线性规划问题：
# mathmodel05_v1.py
# Demo05 of mathematical modeling algorithm
# Solving integer programming with PuLP.
# Copyright 2021 Youcans, XUPT
# Crated：2021-05-31
# Python小白的数学建模课 @ Youcansimport pulp # 导入 pulp 库# 主程序
def main():# 模型参数设置"""问题描述：某厂生产甲乙两种饮料，每百箱甲饮料需用原料6千克、工人10名，获利10万元；每百箱乙饮料需用原料5千克、工人20名，获利9万元。今工厂共有原料60千克、工人150名，又由于其他条件所限甲饮料产量不超过8百箱。（1）问如何安排生产计划，即两种饮料各生产多少使获利最大？（2）若投资0.8万元可增加原料1千克，是否应作这项投资？投资多少合理？（3）若不允许散箱（按整百箱生产），如何安排生产计划，即两种饮料各生产多少使获利最大？（4）若不允许散箱（按整百箱生产），若投资0.8万元可增加原料1千克，是否应作这项投资？投资多少合理？"""# 问题 1："""问题建模：决策变量：x1：甲饮料产量（单位：百箱）x2：乙饮料产量（单位：百箱）目标函数：max fx = 10*x1 + 9*x2约束条件：6*x1 + 5*x2 <= 6010*x1 + 20*x2 <= 150 x1, x2 >= 0，x1 <= 8此外，由 x1,x2>=0 和 10*x1+20*x2<=150 可知 0<=x2<=7.5"""ProbLP1 = pulp.LpProblem("ProbLP1", sense=pulp.LpMaximize) # 定义问题 1，求最大值#注意，上一行确定了是求最大值x1 = pulp.LpVariable('x1', lowBound=0, upBound=8, cat='Continuous') # 定义 x1#参数 cat 用来设定变量类型，可选参数值：‘Continuous’ 表示连续变量（默认值）、’ Integer ’ 表示离散变量（用于整数规划问题）、’ Binary ’ 表示0/1变量（用于0/1规划问题）。x2 = pulp.LpVariable('x2', lowBound=0, upBound=7.5, cat='Continuous') # 定义 x2ProbLP1 += (10*x1 + 9*x2) # 设置目标函数 f(x)ProbLP1 += (6*x1 + 5*x2 <= 60) # 不等式约束ProbLP1 += (10*x1 + 20*x2 <= 150) # 不等式约束ProbLP1.solve()print(ProbLP1.name) # 输出求解状态print("Status youcans:", pulp.LpStatus[ProbLP1.status]) # 输出求解状态for v in ProbLP1.variables():print(v.name, "=", v.varValue) # 输出每个变量的最优值print("F1(x) =", pulp.value(ProbLP1.objective)) # 输出最优解的目标函数值# 问题 2："""问题建模：决策变量：x1：甲饮料产量（单位：百箱）x2：乙饮料产量（单位：百箱）x3：增加投资（单位：万元）目标函数：max fx = 10*x1 + 9*x2 - x3约束条件：6*x1 + 5*x2 <= 60 + x3/0.810*x1 + 20*x2 <= 150x1, x2, x3 >= 0，x1 <= 8此外，由 x1,x2>=0 和 10*x1+20*x2<=150 可知 0<=x2<=7.5"""ProbLP2 = pulp.LpProblem("ProbLP2", sense=pulp.LpMaximize) # 定义问题 2，求最大值x1 = pulp.LpVariable('x1', lowBound=0, upBound=8, cat='Continuous') # 定义 x1x2 = pulp.LpVariable('x2', lowBound=0, upBound=7.5, cat='Continuous') # 定义 x2x3 = pulp.LpVariable('x3', lowBound=0, cat='Continuous') # 定义 x3ProbLP2 += (10*x1 + 9*x2 - x3) # 设置目标函数 f(x)ProbLP2 += (6*x1 + 5*x2 - 1.25*x3 <= 60) # 不等式约束ProbLP2 += (10*x1 + 20*x2 <= 150) # 不等式约束ProbLP2.solve()print(ProbLP2.name) # 输出求解状态print("Status youcans:", pulp.LpStatus[ProbLP2.status]) # 输出求解状态for v in ProbLP2.variables():print(v.name, "=", v.varValue) # 输出每个变量的最优值print("F2(x) =", pulp.value(ProbLP2.objective)) # 输出最优解的目标函数值# 问题 3：整数规划问题"""问题建模：决策变量：x1：甲饮料产量，正整数（单位：百箱）x2：乙饮料产量，正整数（单位：百箱）目标函数：max fx = 10*x1 + 9*x2约束条件：6*x1 + 5*x2 <= 6010*x1 + 20*x2 <= 150x1, x2 >= 0，x1 <= 8，x1, x2 为整数此外，由 x1,x2>=0 和 10*x1+20*x2<=150 可知 0<=x2<=7.5"""ProbLP3 = pulp.LpProblem("ProbLP3", sense=pulp.LpMaximize) # 定义问题 3，求最大值print(ProbLP3.name) # 输出求解状态x1 = pulp.LpVariable('x1', lowBound=0, upBound=8, cat='Integer') # 定义 x1，变量类型：整数x2 = pulp.LpVariable('x2', lowBound=0, upBound=7.5, cat='Integer') # 定义 x2，变量类型：整数ProbLP3 += (10 * x1 + 9 * x2) # 设置目标函数 f(x)ProbLP3 += (6 * x1 + 5 * x2 <= 60) # 不等式约束ProbLP3 += (10 * x1 + 20 * x2 <= 150) # 不等式约束ProbLP3.solve()print("Shan Status:", pulp.LpStatus[ProbLP3.status]) # 输出求解状态for v in ProbLP3.variables():print(v.name, "=", v.varValue) # 输出每个变量的最优值print("F3(x) =", pulp.value(ProbLP3.objective)) # 输出最优解的目标函数值# 问题 4："""问题建模：决策变量：x1：甲饮料产量，正整数（单位：百箱）x2：乙饮料产量，正整数（单位：百箱）x3：增加投资（单位：万元）目标函数：max fx = 10*x1 + 9*x2 - x3约束条件：6*x1 + 5*x2 <= 60 + x3/0.810*x1 + 20*x2 <= 150x1, x2, x3 >= 0，x1 <= 8，x1, x2 为整数此外，由 x1,x2>=0 和 10*x1+20*x2<=150 可知 0<=x2<=7.5"""ProbLP4 = pulp.LpProblem("ProbLP4", sense=pulp.LpMaximize) # 定义问题 4，求最大值print(ProbLP4.name) # 输出求解状态x1 = pulp.LpVariable('x1', lowBound=0, upBound=8, cat='Integer') # 定义 x1，变量类型：整数x2 = pulp.LpVariable('x2', lowBound=0, upBound=7, cat='Integer') # 定义 x2，变量类型：整数x3 = pulp.LpVariable('x3', lowBound=0, cat='Continuous') # 定义 x3ProbLP4 += (10*x1 + 9*x2 - x3) # 设置目标函数 f(x)ProbLP4 += (6*x1 + 5*x2 - 1.25*x3 <= 60) # 不等式约束ProbLP4 += (10*x1 + 20*x2 <= 150) # 不等式约束ProbLP4.solve()print("Shan Status:", pulp.LpStatus[ProbLP4.status]) # 输出求解状态for v in ProbLP4.variables():print(v.name, "=", v.varValue) # 输出每个变量的最优值print("F4(x) =", pulp.value(ProbLP4.objective)) # 输出最优解的目标函数值returnif __name__ == '__main__': # Copyright 2021 YouCans, XUPTmain() # Python小白的数学建模课 @ Youcans
这里借用了Python小白的数学建模课-04.整数规划_youcans的博客-CSDN博客_python整数规划中的方法，原因是不知道为什么司守奎老师的源代码我报错了。。。详见上述文章学习整数规划。用pulp库也可以解决0-1规划的问题。报错如果解决后会更新。
6.2 非线性规划
6.2.1 非线性规划概念和理论
1. 非线性规划模型
非线性规划模型的一般形式描述如下：
采用向量表示法写作：
如果遇到求目标函数最大值或者约束条件大于0的情况都可以通过取相反数转化为一般形式。
定义6.1：严格全局最优解和严格局部最优解
需要注意的是：线性规划的最优解一定在边界取到，特别是可行域顶点上达到。但是非线性规划没有这个特征。最优解（如果存在）可能在可行域任意一点达到 。一般非线性规划算法给出的也只能是局部最优解，不能保证是全局最优解。
2. 无约束非线性规划的求解
无约束线性规划问题可以具体表示为：
该类问题可以借鉴高等数学中二元函数求极值的方法。首先引入下面的定理：
定理6.3
定义6.2 黑塞矩阵
定理6.4 （无约束优化问题有局部最优解的充分条件）
常用方法有：最速降线法，牛顿法和拟牛顿法，这里不详细介绍了
3. 有约束非线性规划的求解
比较常见的处理思路：可能的话将非线性问题转化为线性问题，将约束问题转化为无约束问题。
(1)求解有等式约束非线性规划的lagrange乘数法
对于特殊的只有等式约束的非线性规划问题的情形
定理6.5 （Lagrange定理）：
这样可以把问题求解转化为无约束问题求解。
（2）求解有约束非线性规划的罚函数法
略，书P205（P219）
注：罚函数法计算精度较差，除非要求算法达到实时，否则一般不用
6.2.2 非线性规划的python求解
1.用scipy.optimize模块的minimize函数求解
例6.4 求解非线性规划问题：
from scipy.optimize import minimize
from numpy import ones
def obj(x):x1,x2,x3=xreturn (2+x1)/(1+x2)-3*x1+4*x3
LB=[0.1]*3; UB=[0.9]*3
bound=tuple(zip(LB, UB)) #生成决策向量界限的元组
res=minimize(obj,ones(3),bounds=bound) #第2个参数为初值
print(res.fun,'\n',res.success,'\n',res.x) #输出最优值、求解状态、最优解
所以：最优解为x1=x2=0.9,x3=0.1，目标函数的最优值为-0.7737
例6.5 求解下列非线性规划问题
from scipy.optimize import minimize
import numpy as np
c1=np.array([1,1,3,4,2]); c2=np.array([-8,-2,-3,-1,-2])
A=np.array([[1,1,1,1,1],[1,2,2,1,6],[2,1,6,0,0],[0,0,1,1,5]])
b=np.array([400,800,200,200])
obj=lambda x: np.dot(-c1,x**2)+np.dot(-c2,x)
cons={'type':'ineq','fun':lambda x:b-A@x}
bd=[(0,99) for i in range(A.shape[1])]
res=minimize(obj,np.ones(5)*90,constraints=cons,bounds=bd)
print(res) #输出解的信息
所以，最优解为：x1=50.5,x2=99,x3=0,x4=99,x5=20.2，目标函数的最优值为-51629.93
2. 用cvxopt.solvers模块求解二次规划模型
定义6.3 二次规划模型：
若非线性规划的目标函数为决策向量x的二次函数，约束条件又全是线性的，就称这种规划为二次规划。
cvxopt.solvers模块中二次规划的标准型为：
例6.6 求解二次规划模型
解：首先将原规划模型化为标准型
注意：由于系数1/2的存在，P矩阵为二次方项系数两倍的对角阵，q为一次方系数的纵向量，A为不等式约束的变量系数，b为不等式约束的常数，Aeq为等式约束的系数行向量，beq为等式约束的常数项。
求得最优解为x1=0.8,x2=1.4,x3=0.8,目标函数的最优值为-7.1760。
3. 用cvxpy库求解
例6.7 求解下列非线性整数规划问题
代码略，暂时有报错
6.2.3 飞行管理问题
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