Garch模型Stata实例

一.理论知识

1.金融时间序列经常表现出波动性集群（或称聚类现象），从而导致股票收益率的分布出现尖峰厚尾的特征，而不是有效市场假说所形容的正态分布。条件异方差就是用来分析这种波动集群性现象的。

图一：这里画的是50等权（000050）的市场收益率时序图，呈现一段时间波动性（方差）大，一段时间波动性小的现象。

2.金融时间序列数据的频率高低，对建模分析方法的选择非常重要。
因为高频数据表现出与低频数据极为不同的特征。例如股票收益率是一个高频数据，会如上图一样表现出明显的集群；而低频数据，例如月度、季度通胀率、GDP增长率等，由于这类序列自身经常表现出较高的持久性或者平滑性，对其进行AR模型回归之后的残差序列一般不会表现出很强的异方差性。

图二：这是CPI的某一段时间的季度数据，低频，并没有和图一一样表现出波动性集群的特征。

3.条件异方差模型：ARCH模型，又称自回归条件异方差模型，是分析金融时间序列的根本模型；GARCH模型，又称广义自回归条件异方差模型，是在ARCH模型上发展的模型。

4.ARCH模型：
（1）核心思想：误差项在时刻t的方差依赖于时刻t-1的误差平方大小；建模过程中，涉及到两个核心的模型回归方差，分别是条件均值回归模型（原始的回归模型）、条件异方差回归模型（方差的回归模型）；
（2）定义：例如ARCH（1）是最简单的ARCH模型，它包含了两个等式，如图三、图四所示。

式一：原始的回归模型，x_t表示自变量，y_t表示因变量，u_t表示无序列相关性的随机扰动项。

式二：方差的回归模型，σ_t的平方是在t时刻随机扰动项的方差，因为方差随时间变化，并且以过去的扰动项的信息为变化条件，所以称为“条件异方差”。

ARCH(1)中滞后阶数1表现在第二个等式中，建立ARCH模型，两个等式都必不可少。

4.ARCH(1)模型可以扩展到ARCH（p)模型，但不管是滞后一阶模型还是滞后p阶模型，其随机扰动项本身不存在序列相关性，但其平方项可能存在序列相关性；也就是说，我们不能用随机扰动项的历史信息来预测，但可以通过随机扰动项平方的历史信息来预测。

5.GARCH模型：在ARCH（p）模型的回归估计中，通常需要很多的滞后期数才能得到较好的拟合效果。在ARCH（1）模型的方差等式中加入σ_t的平方自身的一个滞后项，用来代替很多个u_t的平方的滞后项，从而将ARCH模型拓展到GARCH模型。

例如GARCH(1,1)模型的基本表达式是：
式三：均值等式

式四：方差等式，和式二比较，可以看到GARCH模型的方差等式多了一项GARCH项。

GARCH(1,2)是指阶数为1的ARCH项和阶数为2的GARCH项，即GARCH(1，0)就是ARCH(1)模型；GARCH（p,0)模型就是ARCH§模型。

总的来说，ARCH模型是GARCH模型的一个特例。在很多情况下，GARCH(1,1)模型要比ARCH模型得到的结果更可靠，也更精确一些，因此，GARCH(1,1)是最常使用的模型之一。

6.金融变量的一个特点是许多金融时序的收益无法预测，但收益率的方差却在一定的程度上是可以预测的。也就是说，残差序列本身一般不表现出自相关性，而残差的方差却经常会表现出明显的持久性，即一定的自相关性。

7.EGARCH模型（指数GARCH模型），是GARCH模型的推广，简单的EGARCH(1,1)模型可以设立成下面的式子：
除了方差等式分析的对象不同外，均值等式的扰动项和扰动项的绝对值与扰动项的标准差之比来捕捉正负冲击给波动性带来的非对称影响。

二.Stata相关操作命令

arch y x1 x2,arch(1/3) //ARCH(3)模型
arch y x1 x2,arch(1) garch(1) //GARCH(1,1)模型
arch y x1 x2,ar(1) ma(1) arch(1) garch(1) //带ARMA(1,1)的GARCH(1,1)模型
arch y x1 x2,arch(1) dist(t) //ARCH(1)模型，扰动项服从t分布
arch y x1 x2,earch(1) egarch(1) //EGARCH(1,1)模型
arch y x1 x2,arch(1/3) archm //ARCH(3)带上ARCH-M需要更多关于ARCH模型和GARCH模型的命令，用：
help arch

三.具体案例分析:

use 399300.dta,clear //选取沪深300的数据
line rmt date //画出日收益率的时间趋势图，其中rmt是股指收益率，date为日期

图三：股指收益率的时间趋势图
由图三可看出该序列存在较为明显的波动性聚集特征。为了更好的对照，现在先建立自回归模型（不是一开始就要建立自回归条件异方差ARCH模型），并使用信息准则来确定其阶数。

tsset date//设置date为时间变量
varsoc rmt,maxlag(8) //因为AR模型可以看作为一维的VAR模型，所以直接用VAR模型的命令

图四结果显示，大多数准则建议选择AR（7）模型。因此，用OLS估计AR（7）模型：

reg rmt L(1/7).rmt

图五：上表显示，7阶滞后的系数依然显著地不为0.下面对OLS残差是否存在ARCH效应进行LM检验。

estat archlm,lags(1/7) //其中选择性“lags(1/7)”表示检验1-7阶的残差平方滞后项

图六：结果显示，对ARCH(1)——ARCH(7)的检验结果均表明，存在显著的ARCH效应。
下面通过画图更直观地考察OLS的残差平方项是否存在自相关：

predict e1,res
gen e2=e1^2
ac e2
pac e2

图七：残差平方的自相关图
图八：残差平方的偏自相关图

corrgram e2,lags(10)

图九：Q检验的结果

从上面三个结果可知，不管是自相关图、偏自相关图还是Q检验，均显示OLS残差平方序列存在自相关，故扰动项存在条件异方差，即波动性集聚现象。这个结论和LM检验的结果相一致。
为此，考察ARCH（p）模型。为了确定p，估计残差序列的自回归阶数：

varsoc e2

图十：结果表明，第四阶带的星星最多，所以建立ARCH（4）模型：

arch rmt L(1/7).rmt,arch(1/4) nolog

图十一：上表显示，所有的ARCH项均很显著。下面估计更为简洁的GARCH(1,1)模型：

arch rmt L(1/7).rmt,arch(1) garch(1) nolog

图十二：结果显示，ARCH（1）与GARCH（1）均很显著。且关于沪深300序列的完整时间序列模型为：
图十三：①式为均值方程，②式为方差方程。

下面考虑EGARCH(1,1)模型：

arch rmt L(1/7).rmt,earch(1) egarch(1) nolog

用上面这段代码，一直得不到结果，stata界面左上角菜单栏一直显示红色圈圈白色叉的标志，最后弹出下面这段红色的字，说明无法得到收敛结果，计算不出来。

为了可以继续介绍下去，我改了模型，如下图所示。（但如果你也做不下去，无法得到收敛的结果，应该找找论文或者一些论坛查看怎么解决）
新模型：

arch rmt L(1/1).rmt,earch(1) egarch(1) nolog

图十四：结果显示，非对称效应（earch）与对称效应（earch_a）均十分显著。前者的规模约为后者的1/8。非对称效应的符号为负，表明“坏消息”的作用更大。

上面建立的ARCH模型、GARCH模型、EGARCH模型中，均假设扰动项服从正态分布。但是股指收益率可能存在厚尾分布。

kdensity rmt

图十五：日收益率的核密度与正态密度

上图可以看出收益率分布图有尖峰厚尾的现象，下面对扰动项的正态性进行严格的统计检验：

quietly var rmt,lags(1/7)
varnorm

图十六：以上各检验都强烈拒绝“扰动项服从正态分布”的原假设。
为此，假设扰动项服从t分布，重新用GARCH（1，1）模型进行估计：

arch rmt L(1/7).rmt,arch(1) garch(1) dist(t) nolog  //加入了dist(t)，扰动项服从t分布

最后，对GARCH（1，1）模型的条件方差进行预测：

quietly arch rmt L(1/7).rmt,arch(1) garch(1) nolog
predict h,variance //这里的variance是方差的意思，预测的是方差（波动率），不是收益率喔！如果把variance改成r或者residual，就是计算回归残差了。
line h date //date为日期，在一开始建模的时候就用tsset命令设定为时间变量了

上图显示，日收益率的条件方差有时波动，有时急剧上升。如果用OLS估计，则无法得到这些信息。

——————手动分割线————2023.3.12——————祝你写论文顺利————