海天讲座（四）最优传输理论

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2016

公元2016年2月11日上午，加州理工学院，麻省理工学院以及“激光干涉引力波天文台（LIGO）”的研究人员在华盛顿宣布人类首次听到了宇宙的涟漪-引力波，从而从实验角度再度证实了爱因斯坦广义相对论。当时，老顾正在飞往加州的飞机上，获知消息后异常激动。从历史上看，爱因斯坦广义相对论的理论自洽性的证明是“正质量猜测”，由丘成桐先生和其学生Schoen于1979年共同完成。后来丘成桐先生所证明的卡拉比-丘流形成为现代超弦理论的基石，丘成桐先生所用的手法是复蒙日-安培方程。老顾此行的目的就是向国际学界同行介绍我们在蒙日-安培方程计算方面的理论进展。

从暴雪肆虐的纽约来到阳光明媚的洛杉矶，老顾顿觉自然的慷慨和人生的美好。洛杉矶的天空一如既往，蓝得令人发晕。UCLA校园内的学子早已夏装打扮，不知是因为奥巴马的来访还是何故，许多女生都手持一柄长径玫瑰，青春靓丽，笑容灿烂。

会议名称是'Shape Analysis and Learning by Geometry and Machine'【1】，在纯粹和应用数学学院（IPAM）召开。与会者是世界知名专家学者，有水平集方法（Level Set Method）之父UCLA的Stanley Osher教授，计算几何之父Stanford的Leo Guibas教授，历史上首位 International Mathematical Union （IMU）女主席，Duke的Ingrid Daubechies教授，机器学习的先驱Ohio State的Mikhail Belkin教授等等。同时有许多来自以色列，法国的知名科学家。与许多合作伙伴和老朋友再度相逢，切磋思想，重温友情。

在法国巴黎有一个地铁车站-蒙日广场，在里昂旧城有一条老街-安培大街。最优传输理论由法国学者开创，传统悠久，硕果累累。法国现代的数学家Yann brenier, Cédric Villani都为最优传输理论做出了杰出贡献。出于民族自豪感，法国科学家对于最优传输理论极其重视。在计算机科学领域，中国学派和法国学派的竞争由来已久。去年老顾在法国巴黎已经和法国Inria的科学家深入交流过，向对方讲解了理论证明的要点，提供了手稿，彼此达成共识。但是，在这次学术交流的演讲中，法国学者对我们的工作只字未提。

在老顾的学术生涯中，诸如此类经历过很多。我们团队做出的学术成果被别的国家的学者故意忽视，刻意贬低，甚至改头换面，重新包装的事情发生过多次，并且很多高明的模仿者获得了很高的学术声誉和经济利益。对于尚未建立学术地位的年轻学者而言，这种遭遇往往是灭顶之灾，意志薄弱者往往由此消沉下去，而离开学术界。

第二天，在老顾的演讲中，老顾仔细分析了历史发展过程，比较了各个学派所发展的理论的异同，比较了目前各个学派方法的计算结果。根据以前我们的讨论（海天讲座（1,2,3）最优传输理论），最优传输映射等价于求解蒙日-安培方程，等价于凸几何中的亚历山大定理。同样的定理在不同的领域，被不同方向的专家学者多次证明：

在凸几何领域，Alexandrov 在1950年首次证明了Alexandrov 定理【2】。他关于唯一性的证明方法用到了Brunn-Minkowski不等式，他关于存在性的证明方法是基于代数拓扑的方法，其拓扑证明方法无法指导算法的设计。长期以来，寻求构造性的证明一直是凸几何中的一个重要问题。
在计算几何领域，Aurenhammer, Hoffmann 和Aronov 在90年代用Power Voronoi Diagram的语言给出了Alexdrov定理的构造性证明【3，4】。Levy在2014年给出类似证明【5】。他们从传输代价出发，构造了凸能量。他们说因为能量是凸的，因此全局只有一个最小值，这个最小值处的梯度为0。由梯度为0的条件，推出最小值就是Alexandrov 问题的解。因此给出了存在性和唯一性。并且，他们给出了凸能量的梯度表达式。由此，凸能量可以由梯度下降方法优化，并进一步可以用拟牛顿法来优化。
在凸几何领域，我们在2013年给出了Alexandrov定理的构造性证明【6】。我们从凸多面体的体积出发，构造凸能量，同时证明凸能量的定义域是凸的，由此证明了解的唯一性。然后，我们证明凸能量的最小值点必为定义域的内点，因此凸能量在最小值点处梯度为0，从而给出了存在性。同时，我们给出能量的几何意义，也给出二阶导数的几何意义。

比较2和3的证明，我们看出如下的不同之处：

a. 我们证明了定义域的凸性和能量的极值点必为内点；Aurenhammer和Levy的方法忽略了这一点，因而严密性欠缺。如果极值点取到边界，则梯度为0的条件不再保持，极值点不再是Alexandrov问题的解，解的存在性无法保证。

b. 我们给出了直到二阶导数的几何解释，从而可以用牛顿法优化；Aurenhammer和Levy的方法只给出了一阶梯度，只能用梯度下降法，或拟牛顿法。

c. 我们给出凸能量的几何解释，某个凸多面体的体积； Aurenhammer和Levy的方法对能量没有几何解释。

图2. 用我们的最优传输映射方法得到的保持体积元的映射。

图3. 我们的方法（左）和法国学派的方法（右）对比。

从工程角度而言，我们目前的算法可以得到三维空间中不同域之间微分同胚，微分同胚可以拓展到边界上；Aurenhammer和Levy的方法只能保证内部为同胚，边界发生皱褶，如图3所示。

演讲之后，Guibas教授主动走上前来对我们的工作大加赞赏。Daubechies教授也对其严格深刻性表示肯定，并给丘成桐先生发去email表示对我们工作的赞赏，并希望能够建立合作。Ron Kimmel教授对于我们用最优传输理论判断智商的工作赞叹不已，并提议应该用这种方法比较人类和海豚的智商，因为海豚的大脑皮层的几何程度远远超过人类。Levy教授也表示希望在此领域展开合作。

图2. Alexandrov 定理。

Alexandrov 问题 闵科夫斯基的学生亚历山大（Alexandorff）推广了他的定理，提出了Alexandorff 问题。Minkowski考虑了紧致的闭凸多面体，Alexandorff 考虑无限的开放凸多面体 P。每个面的法向量固定，或者等价地，对应的平面方程

的梯度给定，截距未知。给定平面上的凸区域，每个面的投影和的交集的面积给定为。Alexandorff 证明了如下定理：

Alexandorff定理：如果指定的面积满足，并且，

则凸多面体P存在，并且这样的凸多面体彼此相差一个垂直平移。

假设是空间中的一个向量，我们得到k个平面

这些平面构成的上包络是分片线性凸函数的图(Graph)：

上包络是一个凸多面体（convex polytope），有k个面

对应的面积为。

1. 我们首先证明可容许高度空间是空间中的非空凸集。

首先，我们将离散点集经过旋转平移和放缩，使得它们被包含在中，然后做Voronoi Diagram，则每一个Voronoi cell都是非空，这时所对应的高度向量是。

这意味着空间非空。假设，对于任意的，我们直接有,

根据Brunn-Minkowski不等式，

因此我们得到。因此可容许高度集合是凸集。

图3. 凸多面体的体积。

2. 过的边缘

我们做一圆柱，和上包络相交，上包络之下，平面之上，圆柱内部空间的体积记为。我们证明是一个凸函数。首先，我们计算的梯度，然后，我们计算二阶导数，我们有如下几何意义明晰的公式：

。

我们对这一公式详细解释如下。给定分片线性凸函数，其Legendre变换为,

两个函数的图也满足庞加莱对偶关系。平面族上包络的每个面对偶成点, 三个面的交点对偶成三角形。的图在平面上的投影，构成了平面的Power Voronoi Diagram；的图在平面上的投影，构成了平面的 Power Delaunay Triangulation。Power Voronoi Diagram中两个相邻面的交线为：,

在Power Delaunay Triangulation中，其对偶的边为

，连接着和。

图4. 勒让德变换。

由此可见，Hessian矩阵非对角线上的元素是非正的。同时由于，我们有,

由此，Hessian矩阵在空间上为严格正定矩阵，所以体积函数为严格凸函数。

3. 解的唯一性证明

二阶光滑凸函数是定义在凸集上的，则梯度映射

为整体微分同胚。梯度映射的雅克比矩阵为原函数的Hessian矩阵，因此为严格正定矩阵，梯度映射为局部微分同胚。下面，我们来证明梯度映射也是全局微分同胚。假设存在，但是。我们构造直线段，由的凸性，。考察函数，求其二阶导数，

因此，

矛盾。因此，假设错误，梯度映射为整体微分同胚。这就证明了解的唯一性。

4. 解的存在性证明

我们构造一个凸能量，的Hessian矩阵等于的Hessian矩阵，因此在也是严格凸的，因此有唯一的全局最小点，设为。那么在点，能量的梯度为0，我们得到：,

由此可得，全局最小点就是我们希望得到的解。

且慢，这一证明有严重的漏洞。如果全局最小点是定义域的内点，那么梯度为0的条件成立。如果全局最小点落在定义域的边缘，那么梯度为零的条件未必成立。我们需要严格证明，能量的全局最小点一定落在定义域的内部。

我们考察定义域的边界点，，那么在点，某一个面缩为0，不妨设其为, 并且。那么，我们构造一个向量，向平面投影，平面的法向量为，

投影后得到平面上的分量。

和能量的梯度的内积为，

考察第一个面的体积变化,

因此，我们选取足够小，使得

同时由，我们得到，

这意味着，并。
所以，在边界点处，梯度的负向指向内点，因此全局最小点必为的内点。

由此，我们得到了Alexandrov定理的完整证明。

Alexandrov 定理的计算

【1】http://www.ipam.ucla.edu/programs/workshops/shape-analysis-and-learning-by-geometry-and-machine/?tab=schedule

【2】 A. D. Alexandrov. Convex polyhedra Translated from the 1950 Russian edition by N. S. Dairbekov, S. S. Kutateladze and A. B. Sossinsky. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2005.

【3】F. Aurenhammer, F. Hoffmann and B. Aronov, Minkowski-type theorems and least squares partitioning, in Symposium on Computational Geometry, 1992, pp.350-357.
【4】 F. Aurenhammer, F. Hoffmann and B. Aronov, Minkowski-type Theorems and Least-Squares Clustering, vol 20, 61-76, Algorithmica, 1998.
【5】 Bruno L´evy, “A numerical algorithm for L2 semi-discrete optimal transport in 3D”, arXiv:1409.1279, Year 2014.

【6】 X. Gu, F. Luo, J. Sun and S.-T. Yau, Variational Principles for Minkowski Type Problems, Discrete Optimal Transport, and Discrete Monge-Ampere Equations, arXiv:1302.5472, Year 2013.