前言

在leetcode刷题的过程中，碰到了许多动态规划相关的题目，故系统性的学习了动态规划算法。此文章总结了学习过程中的一些思路，尽可能以例子的形式展现出来。如有错误之处，还望指正～

一、动态规划是什么？

动态规划（Dynamic Programming，DP）是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的过程。
动态规划常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题，动态规划方法所耗时间往往远少于朴素解法。

在我看来，动态规划主要分为两个部分。

确定边界
找到状态转移方程

tips：动态规划是一个自底向上的过程

二、经典例子

爬楼梯问题

题目描述：有10阶楼梯，每次只能爬一层或两层，请问爬完10阶楼梯共有多少种方式？

思路：
F(n)表示爬到第几阶楼梯的种数
那么F(1)就为爬到第一层的种数，显然F(1)=1，即只有爬一层有一种方式
那F(2)为多少呢？F(2)=F(1)+1，即从第一层爬一层或从第0层爬两层。
那么可以得到下面的状态转移方程：

F(n) = 1, n = 1
F(n) = 2, n = 2;
F (n) = F(n-1) + F(n-2)

很容易可以得到以下的代码

public int getClimbWays(int n) {if (n < 1) {return 0;}if (n == 1) {return 1;}if (n == 2) {return 2;}int a = 1;int b = 2;int temp = 0;for (int i=3; i<n; i++) {temp = a+b;a = b;b = temp;}return temp;}

以10层为例，输出结果为55

挖金矿问题

题目：有10名矿工挖一批金矿，金矿如下400/5、500/5、200/3、300/4、450/3（金额/所需人数），金矿只能挖或者不挖。请问最多能挖多少金子？

思路：不妨给金矿排个序，即1~5号。那么10个矿工挖5个金矿的收益，等于7个矿工挖四个金矿的收益+350与10个矿工挖四个金矿的最大值。这么说可能不够清楚，不妨填一下下面的表格（n表示金矿个数，w表示人数）

添好后的结果如下所示，显然n=5,w=9时的结果，是在6（9-3）个人挖4个金矿+450，与9个人挖4个金矿中取最大值，即max(500+450, 800)=950

可以得到如下的状态转移方程：

n 挖金矿的个数
w 挖金矿的矿工人数
g 金矿的含量
p 金矿所需的人d[n][w] = 0, n < 1
d[n][w] = n > p[0] ? g[0] : 0, n = 1
d[n][w] = max(d[n-1][w], p[n]+d[n-1][w-g[n]]), n>2

实现代码如下所示：

public int getBiggestGold(int w, int[] g, int[] p) {// 如果不需要挖没有金矿，返回0if (g.length < 1)return 0;int[] preResults = new int[w + 1];int[] results = new int[w + 1];// 首次循环，填充第一行的值for(int i=0; i<=w; i++) {if (i < p[0]) {preResults[i] = 0;} else {preResults[i] = g[0];}}// 填充其余格子值，外层是金矿数量，内层是人工数for (int i=1; i<g.length; i++) {results = new int[w + 1];for (int j=0; j <= w; j++) {if (j < p[i]) { // 人不够，没采results[j] = preResults[j];} else { // 人够了，选择采或者不采的最大收益results[j] = Math.max(preResults[j], preResults[j-p[i]] + g[i]);}}preResults = results;}return results[w];}

易得，收益的最大值为950。

那么如何知道具体挖了哪些金矿呢？评论区告诉我8～

三、总结

在我看来，其实动态规划就是一个自底向上的过程，注意边界即可。～

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