【回溯法】01 - 回溯法的算法框架

回溯法以深度优先策略搜索解空间树。

1. 用回溯法解题时，要明确定义问题的解空间树。

2. 通常将解空间树组织成树或图的形式。

回溯法求解问题的所有解时，要回溯到根，且根节点的所有子树都已被搜索到才结束；

回溯法求解问题的一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。

回溯法适合求解组合数较大的问题。

回溯法的基本思想：（节点 => 结点）

活结点：从根节点出发，以深度优先的方式搜索整个解空间，开始节点即成为活节点，同时也是当前扩展节点；

扩展结点：向纵深方向移动到一个新节点，则这个新节点成为新的活节点，并成为当前的扩展节点；

死结点：如果在当前扩展节点不能再往纵深方向扩展，则当前扩展节点成为死节点

[旅行售货员问题是一个NP完全问题]

回溯法的剪枝策略：

1. 用约束函数在扩展节点处剪去不满足约束的子树；

2. 用限界函数剪去得不到最优解的子树。

【Tips :】

1. 进入左子树时，优先考虑约束（因为上界与父节点相同）；

2. 进入右子树时，优先考虑最优值（即上界是否更优），以便于剪枝。

回溯法解题步骤：

1. 针对所给问题，定义问题的解空间；

2. 确定易于搜索的解空间结构；

3. 以深度优先的方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索；

递归回溯伪代码如下：

    void BackTrace(int t){if (t>n){Output(x);   }else{for (int i = f(n, t); i < g(n, t); i++) {x[t] = h(i);if (Constraint(t) && Bound(t)){BackTrace(t+1);}}}}

t：递归深度

n：控制递归深度

Output()：输出可行解

Constraint()：约束函数

Bound()：限界函数

迭代回溯伪代码如下：

void InterativeBackTrace(){int t = 1;while(t>0){if (f(n,t) <= g(n,t)){for (int i = f(n,t); i <g(n,t) ; i++) {x[t] = h(i);if (Constraint(t)&&Bound(t)){if (Solution(t)){Output(x);}else{t++;}}}}else {t--;}}}

Solution()：当前扩展节点处是否已得到问题的可行解

f(n,t)：当前扩展节点处未搜索过的子树的起始编号

g(n,t)：当前扩展节点处未搜索过的子树的终止编号

h(i)：当前扩展节点处 x[t]的第i个可选值

（限界函数和约束函数同上）

子集树：

当所给的问题是，从n个元素的集合S中找出满足某种性质的子集时，相应的解空间树称为 "子集树"；

    void BackTrace(int t){if (t>n){Output(x);}else{for (int i = 0; i < 1; i++) {x[t] = i;if (Constraint(t) && Bound(t)){BackTrace(t+1);}}}}

排列树：

当所给的问题是，确定n个元素满足某种性质的排列时，相应的解空间树称为 "排列树"；

排列树通常有 n! 个叶结点，故遍历排列树需要 Ω(n!) 的计算时间。

    void BackTrace(int t){if (t>n){Output(x);}else{for (int i = t; i <= n; i++) {Swap(x[t],x[i]);if (Constraint(t) && Bound(t)){BackTrace(t+1);}Swap(x[t],x[i]);}}}

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