CF1634C OKEA

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题意：将 1 1 1 到 n × k n\times k n×k 的正整数排成 n n n 行 k k k 列，使得每一行 k k k 个数所有子串的平均数都为整数。

题解

先大胆猜一下，要求这么苛刻的话合法的情况一定不多，经推导果然是这样。

要求所有子串的平均数都为整数，其实可以只看相邻两数。要求所有相邻两数平均数为整数，也就是要求它们奇偶性相同（两数之和能够被 2 2 2 整除）。因此我们可以推导出，每一行的数都分别奇偶性相同。

但因为要填的数是连续正整数，奇偶数的数量之间最多只会相差 1 1 1，因此如果在 k > 1 k>1 k>1 的情况下 n n n 不是偶数，就一定无法满足每一行的数都分别奇偶性相同的要求（此时需要的奇偶数数量差为 k k k）。而当 k = 1 k=1 k=1 的时候，或 k > 1 k>1 k>1 但 n n n 是偶数的时候一定有解（后者为什么有解构造一下即可）。

那么来看如何构造。

当 k = 1 k=1 k=1 的时候，可以直接按顺序输出 1 1 1 到 n n n。

而当 k > 1 k>1 k>1 时，由于要求每一行的数都分别奇偶性相同，所以把所有的奇数排成 k 2 \frac{k}{2} 2k 行，所有的偶数排成 k 2 \frac{k}{2} 2k 行。别忘了除了要求相邻两数平均数为整数，还要求连续任意个数平均数都为整数。而直接按顺序排恰好能够满足这个要求：

设连续 b b b 个奇偶性相同的数，开头的数为 a a a，则平均数为：

∑ i = 1 b a + 2 ( i − 1 ) b = a b + b ( b − 1 ) b = a + b − 1 \frac{\sum_{i=1}^{b}a+2(i-1)}{b}=\frac{ab+b(b-1)}{b}=a+b-1 b∑i=1ba+2(i−1)=bab+b(b−1)=a+b−1

可以证明其为整数。

综上，对输入分类讨论即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define INF 0x3f3f3f3f
int t,n,k;
int main(){scanf("%d",&t);while(t--){scanf("%d%d",&n,&k);if(n%2&&k>1){puts("NO");continue;}else{puts("YES");if(k==1){for(int i=1;i<=n;++i)printf("%d\n",i);}else{int cnt=0;for(int i=1;i<=n*k;i+=2){printf("%d",i),cnt++;if(cnt==k) puts(""),cnt=0;else printf(" ");}for(int i=2;i<=n*k;i+=2){printf("%d",i),cnt++;if(cnt==k) puts(""),cnt=0;else printf(" ");}}}}return 0;
}

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