投资风险的度量-组合方差、回归方程的计算
图文版:
https://zhuanlan.zhihu.com/p/163762495
风险的定义
投资的风险(Risk)指期望结果(即收益)的不确定性(Uncertainty),年化收益率相同的2个资管产品,投资者一般倾向选择收益波动(Volatility)更小,即风险更小的资管产品。
事前风险(Ex ante或Forward-Looking Risk)指基于投资组合的持仓和市场预测,估计或预测的投资组合未来的风险。
事后风险(Ex post或Backward-Looking Risk)用于评估历史的投资组合的风险情况。本文主要介绍事后风险。
风险的度量
方差(Variance):
r_i为每个区间(如周/月/季度)的收益率,r ̅为收益率均值,n为区间数量。
标准偏差(Standard Deviation):
年化方差和年化标准偏差:
其中t为每年的区间数。若r_i为季度收益率,则t=4;若r_i为月度收益率,则t=12。
当分母为n-1时,即为样本方差:
样本标准偏差:
夏普比率Sharpe ratio
r_P为组合年化收益率,r_F为年化无风险(Risk-free)收益率,σ_P为投资组合年化标准偏差。
风险调整后收益率(Risk-adjusted return)M^2
不同投资组合的收益率、标准偏差一般不同,若直接比较收益率则忽视了组合所承担的风险,无法公平的对比收益和风险。因此,若以参考基准的标准偏差σ_M计算得到各个组合的等效收益率(即风险调整后收益),可相对公平的比较在承担相同风险情况下的收益率。
风险调整后收益率:
M^2超额收益率-几何法:
其中,b为参考基准收益率。
M^2超额收益率-算术法:
回归分析
若以参考基准(Benckmark)收益率为横轴,投资组合收益率为纵轴,得到收益率散点图:
用直线(一阶方程)对散点拟合,若散点大致散落在直线两侧,可以得到回归方程为:
回归方程的alpha值为回归方程与纵轴交点:
回归方程的beta值为直线斜率:
回归误差(Epsilon)为实际值与回归值的差值:
资本资产定价模型(Capital Asset Pricing Model ,CAPM)
若考虑无风险收益率r_Fi,定义组合超额收益率为:
参考基准超额收益率为:
得到回归方程:
Beta为:
詹森alpha(Jensen’s alpha):
协方差(Covariance)代表投资组合和基准收益率向相同方向移动的倾向:
年化协方差:
相关度(Correlation ,ρ):
因为:
因此:
特殊风险(Specific Risk )或剩余风险(Residual risk)
根据回归方程:
组合总风险除了与beta相关的系统风险外,还包括由剩余项ε_R产生的剩余风险/特殊风险,即:
其中,系统风险为:
因此:
其中,R^2为决定系数(Coefficient of Determination)。R2越接近1,组合的方差越能够被基准方差所解释。如果组合的R2较低(远低于0.8),即系统的剩余风险占比较高,说明回归方程较不准确。
举例
以嘉实创业板ETF(159955)为例,其参考基准为创业板指数。根据最近2年的月收益率计算方差、相关度、回归方程系数等指标。
注:灰色背景单元格为左侧单元格的说明。
根据实际收益率得到的散点图:
参考资料
Practical Portfolio Performance Measurement and Attribution
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