正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4491

题目大意

给nnn个物品染上mmm种颜色，若恰好有kkk个颜色的物品个数为SSS那么就会产生WkW_kWk的贡献。求所有染色方案的贡献和

1≤n≤107,1≤m≤105,1≤S≤1501\leq n\leq 10^7,1\leq m\leq 10^5,1\leq S\leq 1501≤n≤107,1≤m≤105,1≤S≤150

解题思路

先考虑一个简单的想法，我们强制染上kkk种颜色，那么方案就是
F(k)=(mk)Pnk×S(S!)k(m−k)n−k×SF(k)=\binom{m}{k}\frac{P_n^{k\times S}}{(S!)^k}(m-k)^{n-k\times S}F(k)=(km)(S!)kPnk×S(m−k)n−k×S
（选出kkk种，然后重排公式，剩下的随便选）

发现这样剩下的颜色也有可能会有贡献，设G(k)G(k)G(k)表示恰好有kkk种出现次数为SSS的颜色的话，那么他们之间有公式
F(k)=∑i=kn(ik)G(i)F(k)=\sum_{i=k}^n\binom{i}{k}G(i)F(k)=i=k∑n(ki)G(i)
然后直接二项式反演就有
⇒G(k)=∑i=kn(−1)i−k(ik)F(i)\Rightarrow G(k)=\sum_{i=k}^n(-1)^{i-k}\binom{i}{k}F(i)⇒G(k)=i=k∑n(−1)i−k(ki)F(i)
拆开组合数就有
G(k)=∑i=kn(−1)i−ki!k!(i−k)!F(i)G(k)=\sum_{i=k}^n(-1)^{i-k}\frac{i!}{k!(i-k)!}F(i)G(k)=i=k∑n(−1)i−kk!(i−k)!i!F(i)
这里面和iii有关的下标只有iii和i−ki-ki−k，是一个卷积的形式，直接NTTNTTNTT就好了。

时间复杂度O(nlog⁡n)O(n\log n)O(nlogn)

当然也可以用指数型生成函数来推导，但是我不会

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e7+10,P=1004535809;
ll n,m,S,ans,inv[N],fac[N],f[N],g[N],r[N];
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans;
}
void NTT(ll *f,ll n,ll op){for(ll i=0;i<n;i++)if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);for(ll p=2;p<=n;p<<=1){ll len=(p>>1),tmp=power(3,(P-1)/p);if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2);for(ll k=0;k<n;k+=p){ll buf=1;for(ll i=k;i<k+len;i++){ll tt=buf*f[i+len]%P;f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;f[i]=(f[i]+tt)%P;buf=buf*tmp%P;}}}if(op==-1){ll invn=power(n,P-2);for(ll i=0;i<n;i++)f[i]=f[i]*invn%P;}return;
}
ll C(ll n,ll m)
{return fac[n]*inv[m]%P*inv[n-m]%P;}
signed main()
{scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&S);inv[1]=1;for(ll i=2;i<N;i++)inv[i]=P-(P/i)*inv[P%i]%P;inv[0]=fac[0]=1;ll pm=m;m=min(m,n/S);for(ll i=1;i<N;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%P,inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%P;for(ll i=0,z=1;i<=m;i++){f[i]=C(pm,i)*fac[n]%P*z%P*inv[n-i*S]%P;f[i]=f[i]*power(pm-i,n-i*S)%P;z=z*inv[S]%P;f[i]=f[i]*fac[i]%P;}for(ll i=0;i<=m;i++)g[i]=(i&1)?(P-inv[i]):(inv[i]);reverse(f,f+1+m);ll l=1;while(l<=2*m+1)l<<=1;for(ll i=0;i<l;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(l>>1):0);NTT(f,l,1);NTT(g,l,1);for(ll i=0;i<l;i++)f[i]=f[i]*g[i]%P;NTT(f,l,-1);reverse(f,f+1+m);for(ll i=0;i<=m;i++){ll p=f[i]*inv[i]%P;ll w;scanf("%lld",&w);(ans+=w*p%P)%=P;}printf("%lld\n",ans);return 0;
}

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