【牛客NOIP模拟】牛牛的RPG游戏【二维偏序】【任意坐标斜率优化】【CDQ 分治】【李超线段树】

题意： n×mn\times mn×m 的网格图，每个点有两个权值 vali,j,bufi,jval_{i,j},buf_{i,j}vali,j,bufi,j，从 (1,1)(1,1)(1,1) 开始只能向下或向右走到 (n,m)(n,m)(n,m) ，在某个位置时可以选择触发该位置的事件（也可不触发），将获得 vali,jval_{i,j}vali,j 的得分和 bufi,jbuf_{i,j}bufi,j 的 buff，该 buff 会在之后每一步产生对应的分数直到触发下一个事件。求最大分数。

nm≤105nm\leq 10^5nm≤105，保证 val1,1=valn,m=buf1,1=bufn,m=0val_{1,1}=val_{n,m}=buf_{1,1}=buf_{n,m}=0val1,1=valn,m=buf1,1=bufn,m=0

显然可以 dp，设 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 为走到 (x,y)(x,y)(x,y) 并触发事件的最大分数。

转移枚举上一个事件

f(x,y)=max⁡i≤x,j≤y{f(i,j)+buf(i,j)(x+y−i−j)}+val(i,j)f(x,y)=\max_{i\leq x,j\leq y}\{f(i,j)+buf(i,j)(x+y-i-j)\}+val(i,j)f(x,y)=i≤x,j≤ymax{f(i,j)+buf(i,j)(x+y−i−j)}+val(i,j)

显然可以斜率优化

这个状态有两维，发现枚举的位置是满足二维偏序，所以可以 cdq 分治搞掉一维，另一维上李超线段树即可。

注意 000 和 −∞-\infin−∞ 的不同。

复杂度 O(nmlog⁡2n)O(nm\log ^2n)O(nmlog2n)

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <vector>
using namespace std;
inline int read()
{int ans=0,f=1;char c=getchar();while (!isdigit(c)) (c=='-')&&(f=-1),c=getchar();while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();return f*ans;
}
const int N=2e5,MAXN=N+5,INF=2e9;
int n,m;
vector<int> val[MAXN],buf[MAXN],f[MAXN];
int k[MAXN],b[MAXN],tot;
inline int calc(const int& i,const int& x){return k[i]*x+b[i];}
int ch[MAXN][2],mx[MAXN],rt,cnt;
inline void clear(){tot=0,rt=cnt=1,ch[1][0]=ch[1][1]=mx[1]=0;}
void modify(int& p,int l,int r,int v)
{if (!p) p=++cnt,ch[p][0]=ch[p][1]=mx[p]=0;if (!mx[p]) return (void)(mx[p]=v);if (calc(mx[p],l)>=calc(v,l)&&calc(mx[p],r)>=calc(v,r)) return;if (calc(mx[p],l)<=calc(v,l)&&calc(mx[p],r)<=calc(v,r)) return (void)(mx[p]=v);int mid=(l+r)>>1;if (calc(v,mid)>calc(mx[p],mid)) swap(v,mx[p]);if (calc(v,l)>calc(mx[p],l)) modify(ch[p][0],l,mid,v);if (calc(v,r)>calc(mx[p],r)) modify(ch[p][1],mid+1,r,v);
}
int query(int p,int l,int r,int k)
{if (!p) return -INF;int ans=(mx[p]? calc(mx[p],k):-INF);int mid=(l+r)>>1;if (k<=mid) ans=max(ans,query(ch[p][0],l,mid,k));else ans=max(ans,query(ch[p][1],mid+1,r,k));return ans;
}
void solve(int l,int r)
{if (l==r){clear();f[l][1]+=val[l][1];for (int i=1;i<=m;i++){if (i>1) f[l][i]=max(f[l][i],query(rt,1,N,i))+val[l][i];++tot,k[tot]=buf[l][i],b[tot]=f[l][i]-i*k[tot];modify(rt,1,N,tot);}return;}int mid=(l+r)>>1;solve(l,mid);clear();for (int j=1;j<=m;j++){for (int i=l;i<=mid;i++){++tot,k[tot]=buf[i][j],b[tot]=f[i][j]-(i+j)*k[tot];modify(rt,1,N,tot);}for (int i=mid+1;i<=r;i++) f[i][j]=max(f[i][j],query(rt,1,N,i+j));}solve(mid+1,r);
}
int main()
{n=read(),m=read();for (int i=1;i<=n;i++){buf[i].resize(m+1);for (int j=1;j<=m;j++) buf[i][j]=read();}for (int i=1;i<=n;i++){val[i].resize(m+1),f[i].resize(m+1,-INF);for (int j=1;j<=m;j++) val[i][j]=read();}f[1][1]=0;solve(1,n);printf("%d\n",f[n][m]);return 0;
}

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