陈省身文集51——闭黎曼流形高斯-博内公式的一个简单的内蕴证明

陈省身发表了大量的数学论文，但在这本文集中只收录这一篇（全部学术专著和论文的目录见附录）。原因是，陈省身把这篇论文作为他的代表作收入了《数学中的沃尔夫奖》一书。原文发表于美国《Annals of Mathematics》第45卷第9期，1944年。现由王善平译出，以供读者研究。

引言
C.B.艾伦多弗与W.芬切尔独立地把经典的高斯-博内公式推广到一个可嵌入欧几里得空间的闭可定向黎曼流形。最近，艾伦多弗与韦伊又把该公式推广到闭黎曼多面体，并特别证明了它对于一般闭黎曼流形的有效性。在他们的证明中仍然使用了把黎曼胞腔嵌入欧几里得空间的方法。本文的目的是，利用微分流形的向量场理论，给出该公式的一个直接的内蕴的证明。

本证明的基本思想十分简单，因此概要的说明会有帮助。令R^n是偶数n维的闭可定向黎曼流形[按照上下文，这里的R^n不是代表n维欧氏空间]。按照将详叙于后的方法，我们在R^n中定义一个内蕴的n阶外微分形式Ω，它当然等于R^n的不变量乘以体积元素。高斯-博内公式断言，这一微分形式在R^n上的积分等于R^n的欧拉-庞加莱示性数χ。为证明这一点，我们从流形R^n转到由R^n的单位向量构成的2n-1维流形M^(2n-1)。在M^(2n-1)中我们证明Ω等于一n-1阶微分形式Ⅱ的外导数。通过定义R^n上一个带有孤立奇点的连续的单位向量场，我们得到它在M^(2n-1)中的像:n维子流形V^n，而Ω在R^n上的积分就等于V^n上同样的积分。利用斯托克斯定理证明，后者等于Ⅱ在V^n的边界上的积分。现在，V^n的边界正好对应于定义在R^n中的向量场的奇点，一个著名的定理指出它们的指标和等于χ。经过如此解释，就可以计算Ⅱ在V^n的边界上的积分，并很容易证明它等于χ。

此方法当然可以用来导出同样类型的其他公式，并可以经过适当修改，推出黎曼多面体的高斯-博内公式。我们发表此证明，是因为我们方法的主要思想在这里是最为清晰的。进一步的结果会在以后的论文中给出。

ξ1 黎曼几何基本公式概要
令R^n是闭可定向的、偶数n=2p维、r>=4阶的微分流形。假设在R^n中定义了黎曼度量，其基本张量是g_ij，各分量假设是3阶可微的。既然我们与多重积分打交道，使用嘉当处理黎曼几何的方法看来是方便的，该方法主要使用外微分形式的理论，而不是通常的张量分析。下面出现的微分形式都是外微分形式。

按照嘉当的方法，我们对R^n的每一点P给出一组相互垂直的单位向量e_1,e_2,…,e_n，它们具有方向性，这样一组数Pe_1…e_n，称为标架(frame)。R^n在P上切向量空间中的向量v可以由P上的标架表出。于是
(1) v=u_ie_i,
这里指标i从1到n，重复的指标隐含求和。由列维-齐维塔平移所定义的切向量空间无限小位移法则，给出如下形式的方程组
(2) dP=w_ie_i且de_i=w_ije_j,w_ij+w_ji=0,
这里w_i,w_ij是普法夫形式。它满足以下的“结构方程”：
(3) dw_i=w_jw_ji且dw_ij=-w_ikw_jk+Ω_ij,Ω_ij+Ω_ji=0。
在(3)中，Ω_ij是外二次微分形式，它给出了空间的曲率性质。
(3)中等式左边项的外导数为0，根据这一结果得到Ω_ij满足以下方程组
(4) w_jΩ_ji=0且dΩ_ij-w_jkΩ_ik+w_ikΩ_jk=0,
叫做比安基恒等式。
为了以后的计算，要了解当标架e_1…e_n作特征正交变换时，Ω_ij如何变化。在P的一个使同一的坐标系保持有效的邻域里，令e_1…e_n通过特征正交变换变成e_1^*…e_n^*：
(5) e_i^*=a_ije_j
或
(5') e_i=a_jie_j^*
这里(a_ij)是特征正交矩阵，其元素a_ij是坐标的函数。假设Ω_ij^*由标架Pe_1^*…e_n^*形成，就如同Ω_ij由标架Pe_1…e_n形成一样。于是我们容易发现
(6) Ω_ij^*=a_ika_jlΩ_kl。
由(6)我们直接推出下面的结果。令εi_1…i_n是一个符号，它根据i_1,…,i_n是1,…,n的偶置换还是奇置换而取+1或-1值，其他情况下就为0。由于我们的空间R^n是偶数维n=2p，所以可构造如下的和
(7) Ω=(-1)^(p-1)[1/(2^(2p))(pi^p)(p!)]εi_1…i_2pΩi_1i_2Ωi_3i_4…Ωi_(2p-1)i_2p，
这里每一指标都从1到n。
利用(6)我们可以看到Ω在标架变换(5)下是不变的，所以它是内蕴的。这一内蕴的微分形式是n阶的，所以它是w_1…w_n的倍数。
由于后者的乘积（为该空间的体积元素）也是内蕴的，因此我们可以写
(8) Ω=Iw_1…w_n，
这里系数I是该黎曼流形的不变标量。

根据这些结果，我们就可以把高斯-博内公式写成如下形式
(9) ∫_R^nΩ=χ，
其中χ是R^n的欧拉-庞加莱特征。

ξ2 单位向量空间与关于Ω的一个公式
现在我们要从黎曼流形R^n转到由其单位向量构成的2n-1维流形M^(2n-1)。它是r-1阶的闭微分流形。我们当然可以把R^n的局部坐标以及(1)中向量v的分量u_i作为M^(2n-1)的局部坐标，它们满足条件
(1') u_iu_i=1。
如果θ_i是dv的关于标架e_1…e_n的分量，我们有
(10) dv=θ_ie_i,
这里
(11) θ_i=du_i+u_jw_ji
及
(12) u_iθ_i=0。
对(11)微分，我们得到
(13) dθ_i=θ_jw_ji+u_jΩ_ji。
至于标架变换(5)对分量u_i,θ_i的影响，显然由以下方程给出
(14) u_i^*=a_iju_j,θ_i^*=a_ijθ_j。
现在我们建构以下两组微分形式：
(15) Φ_k=
(16) Ψ_k=
形式Φ_k是2p-1阶，Ψ_k是2p阶，同时我们注意到Ψ_(p-1)与Ω只相差一个常数因子。利用(6)与(14)我们发现Φ_k和Ψ_k都是内蕴的，从而定义在整个黎曼流形R^n上。

ξ3 高斯-博内公式的证明
在R^n是闭的可定向黎曼流形的假设下，我们根据(24)式来给出(9)式的证明。
我们在R^n中定义一个在R^n的点0上有唯一奇点的连续单位向量场。一个著名的定理指出该场在0点的指标等于R^n的欧拉-庞加莱示性数χ。

参考资料和现代注解：
在短短不到6页纸的篇幅中，陈省身运用嘉当首创的外微分（exterior differential）方法，对流形上的每一点P给出一组正交的单位切向量（unit tangent vector），成为标架（Frame），这些标架与流形本身一起组成了该流形的单位切丛（Unit Tangent Bundles）。通过反映这些切向量（tangent vector）的列维-齐维塔联络性质的方程组，得到反映空间曲率性质的一些外二次微分式（quadratic differential form），这些微分式的组合得到一个内蕴的n阶微分式Ω，证明这个Ω是单位切丛里的一个外导数（exterior derivative），然后利用欧拉-庞加莱-霍普夫定理，终于证明关于Ω的积分就等于流形的欧拉-庞加莱示性数χ，这就是完成了高斯-博内公式。

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