Implicit Neural Representations with Periodic Activation Functions

文章目录

概
主要内容
- 初始化策略
- 其它的好处

Sitzmann V., Martel J. N. P., Bergman A. W., Lindell D. B., Wetzstein G. Implicit neural representations with periodic activation functions. Advances in Neural Information Processing Systems (NIPS), 2020.

概

本文提出用sin⁡\sinsin作为激活函数, 并分析该类型的网络应该如何初始化.

主要内容

本文研究如下的网络结构:
Φ(x)=Wn(ϕn−1∘ϕn−2∘⋯∘ϕ0)(x),xi→ϕi(xi)=sin⁡(Wixi+bi).\Phi(x) = W_n (\phi_{n-1} \circ \phi_{n-2}\circ \cdots \circ \phi_0)(x), x_i \rightarrow \phi_i(x_i) = \sin (W_i x_i + b_i). Φ(x)=Wn(ϕn−1∘ϕn−2∘⋯∘ϕ0)(x),xi→ϕi(xi)=sin(Wixi+bi).
即一个用sin作为激活函数的MLP.

为了说明使用sin作为激活函数的好处, 作者首先利用一个简单的例子作为说明, 设想如下的任务:

Φ\PhiΦ 以位置坐标(i,j)(i, j)(i,j)为输入, 输出Φ(i,j)∈R3\Phi(i, j) \in \mathbb{R}^3Φ(i,j)∈R3表示该像素点图片的r, g, b;
Φ\PhiΦ以一个图片作为训练集, 假设该图片为f(i,j)∈R3,i=1,2,⋯,j=1,2,⋯,Wf(i, j) \in \mathbb{R}^3, i = 1,2,\cdots, j = 1,2,\cdots, Wf(i,j)∈R3,i=1,2,⋯,j=1,2,⋯,W, 则训练集为{(i,j,f(i,j))}\{(i, j, f(i, j))\}{(i,j,f(i,j))}, 共HWHWHW个坐标点及其对应的目标;
通过平方损失L~=∑i∑j∥Φ(i,j)−f(i,j)∥2\tilde{\mathcal{L}} = \sum_i \sum_j \|\Phi(i, j) - f(i, j)\|^2L~=∑i∑j∥Φ(i,j)−f(i,j)∥2训练网络.

上图给了一个例子(既然是灰度图, 我想这时Φ(i,j)∈R\Phi(i, j) \in \mathbb{R}Φ(i,j)∈R), 展示了用不同激活函数得到的Φ(i,j)\Phi(i, j)Φ(i,j)的图, 显然图和原图越接近, 说明拟合能力越强.
特别的, 作者还展示了∇f(x)\nabla f(x)∇f(x)和Δf(x)\Delta f(x)Δf(x) (分别用sobel算子和laplacian算子得到的) 和各自网络关于(i,j)(i, j)(i,j)的梯度和二阶梯度的比较. 发现只有SIREN是高度一致的(一个很重要的原因是ReLU等分段连续函数二阶导为0).

初始化策略

作者希望每一层(除了第一层)的输入输出的分布是一致的, 这能够让堆叠网络层数变得容易, 加快收敛.
其策略是:
wi∼U(−6/n,6/n),w_i \sim \mathcal{U}(-\sqrt{6 / n}, \sqrt{6 / n}), wi∼U(−6/n,6/n),
其中nnn是输入x∈Rnx \in \mathbb{R}^nx∈Rn的维度.
但是, 因为sin⁡(wx+b)\sin (wx+b)sin(wx+b)中的www可以看成是采样频率, 为了保证第一层的采样频率足够高(采样定理), 作者乘上了一个额外的系数:
sin⁡(w0⋅Wx+b),\sin (w_0 \cdot W x + b), sin(w0⋅Wx+b),
文中说w0=30w_0=30w0=30是一个不错的选择.
同时作者还发现, 该技巧应用于别的层一样有效, 所以干脆所有层都长上面那个样, 同时
wi∼U(−6/w02n,6/w02n).w_i \sim \mathcal{U}(-\sqrt{6 / w_0^2n}, \sqrt{6 / w_0^2n}). wi∼U(−6/w02n,6/w02n).
作者认为这么做有效是因为关于WWW的梯度也乘上了一个因子w0w_0w0, 但同时分布不变.

其它的好处

SIREN对于包含梯度问题的处理尤为出色, 这或许应该归功于其导数依然是一个SIREN网络, 而如ReLU的一阶导为常数, 二阶导为0自然无法胜任.

类似的结构, 但是这一次, 假设只知道图片的∇f(i,j)\nabla f(i, j)∇f(i,j)或者Δf(i,j)\Delta f(i, j)Δf(i,j),由此通过
∥∇Φ(i,j)−∇f(i,j)∥2,\|\nabla \Phi(i, j) - \nabla f(i, j)\|^2, ∥∇Φ(i,j)−∇f(i,j)∥2,
或者
∥ΔΦ(i,j)−Δf(i,j)∥2,\|\Delta \Phi(i, j) - \Delta f(i, j)\|^2, ∥ΔΦ(i,j)−Δf(i,j)∥2,
来拟合, 则Φ(i,j)\Phi(i, j)Φ(i,j)依然输出和f(i,j)f(i, j)f(i,j)相近的结果(如上图左所示).

上图右则是逼近α∇f1(i,j)+(1−α)f2(i,j)\alpha \nabla f_1 (i, j) + ( 1- \alpha) f_2 (i, j)α∇f1(i,j)+(1−α)f2(i,j)
对两张图片进行混合, 得到的Φ(i,j)\Phi(i, j)Φ(i,j)恰为两张图片的融合.
SIREN的强大之处可见一斑.