n维立方体角、面、边的个数
在看Gilbert Strang的Introduction to the Linear Algebra (5th)的过程中看到一个有趣的问题:
How many corners does a cube have in 4 dimensions? How many 3D faces? How many edges? A typical corner is (0, 0, 1, 0). A typical edge goes to (0, 1, 0, 0).
现在试着回答一下对于n维立方体,这些性质是怎样的。
n维立方体有几个角?
一个n维立方体中的点可以用一个n维向量表达,其中每个component都可以取 [0,1][0, 1][0,1] 中的任何一个值(为了方便讨论,这里使用的是单位立方体,也就是位于第一象限,一个角处在原点,边长为1的正方体)。
要找到所谓的角,只需要让这个n维向量的所有component都取边界值。
对于每个component而言,有两个边界值0和1,那么只需取所有component取两个边界值时的组合就可以了:
n维立方体有 2n2^n2n 个角
n维立方体有几个n-1维的面?
我们可以想象,要画出n维立方体所处的空间,那么就有n个互相垂直的轴,对于我们所讨论的单位立方体,其中的每个面都只需要n-1个变化的component去填充,剩下的那个component是边界值0或者1。
要找到一个面,只需要固定n维向量的1个component为0或者1,然后让其他n - 1个component自由变化填充这个面就可以了,因此:
n维立方体有 2n2n2n 个n - 1维的面
想象n个互相垂直的轴也不是很困难,例如对于4维空间,在其中一个轴的任何一点,都可以找到与之垂直的一个三维空间。对于更高维的空间,只需要递归地进行这个思路就可以了。
n维立方体有几个边?
所谓的边就是处于正方体边界的1维线段。
要确定一条边,需要让n维向量的n - 1个component固定为边界值(0或1),剩下那个component在 [0,1][0, 1][0,1] 内自由变化,边的个数等于固定的方式数,因此:
n维立方体有 n×2n−1n × 2^{n-1}n×2n−1 条边
总结
其实边、角、面都是n维立方体空间内的一些边界值,区别只在于其维度。
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