高等数学基础：求导总结

本篇文章主要总结几种函数的求导方法。比如，反函数求导，隐函数求导，参数方程求导的方法。再简单讨论一下高阶导数的概念。

先看看考纲对这一块的要求：

3. 了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．
4. 会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数．

考纲对这一块的要求主要是会求会用即可，因此我们主要是要熟悉其用法。

反函数求导：

前面我们已经介绍过反函数的概念。即y = f(x)上的所有的点(a, b)相对应的点(b, a)都在f-1(x)上存在。

反函数求导法则总结起来就是一句话：反函数的导数等于原函数导数的倒数。
我们可以用这个定理来证明一下反三角函数和对数函数的求导公式：

arctanx, arccosx, arccotx同理，所以反三角函数其实就不需要死记了，完全可以推出。

对数函数的导数公式推导：

这几种求导公式会证了之后，就大大减轻了我们的记忆负担。

隐函数求导：

一般我们遇到的函数比如：y = f(x)都是显函数。但是形如F(x, y) = 0；这种将x, y写成一个方程形式的，就是隐函数了。有时候我们可以直接将隐函数显化为显函数，这样的话就可以求导了。但是很多时候，不好显化，那如何对它求导呢？

我们一般是直接对等式两端的x求导。将y视为x的函数
比如这样一道题：
曲线C方程：x^2 + y^2 = 1；求在点x = 根号2 / 2, y = 根号2 / 2处，切线的方程。
这题显然不好直接显化，采用隐函数求导方法。

有了这个方法，我们可以对难以显化的函数求导了！

对数求导法：（求导大杀器！）

在它的面前，任何难求的导数都不是对手。

对数求导法是个求导技巧，它可以帮助我们求出许多难求的导数。
比如y = x ^ sinx 这种函数既不是幂函数，也不是指数函数，我们甚至无法用传统的求导公式求出它！

对数求导主要是利用了对数方便的计算，因为它可以把乘除化为加减，把幂化为乘除运算。
比如它有这些运算性质:

ln(a * b) = lna + lnb;
ln(a / b) = lna - lnb;
lna^b = b * lna;

比如我们现在来求y = x ^ sinx的导数：

结合一点复合函数的求导知识，直接秒掉了有木有！哈哈

我们再来求一个：

试想，如果没有对数的帮忙，这个求导过程将会非常复杂。

参数方程求导：

设x = u(t), y = v(t);
参数方程求导公式：dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)
即因变量与自变量各自对参数求导的比值。

首先对问题进行数学建模，t0处的运动方向就是曲线在t0处的切线，求出切线，这个方向就出来了，就是沿着切线方向嘛！
所以（1）：

速度大小我们分解成Vx和Vy，即求出t0时刻水平方向上的速度大小和t0时刻竖直方向上的速度大小。这样的话，t0时刻的大小由勾股定理就能算出。

因为速度是位移对时间的变化率，即位移对时间的导数，所以水平方向上的速度是水平位移对时间的导数，竖直方向上的速度是竖直位移对时间的导数 。本题关键就是这里，深刻理解导数的物理意义。

那么：

说句题外话，在运算过程中，我们也发现，水平速度，即dx/dt，真的就是一个与时间没有关系的常数，它只和抛出的初速度和发射角度有关系。进一步验证了高中所学的物理知识

解决这种题，关键要能将实际问题进行数学建模，要知道导数就是变化率的意义！

高阶导数

这一块考纲要求了解高阶导数的概念，会求简单的高阶导数即可。常见的几个函数的n阶导数要会求。

高阶导数说白了很简单，就是函数f(x)二阶及其二阶以上的导数（前提是该阶导数存在）。

定义：limx->x0 f'(x +ｘ0) - f'(x) / x0
所以由定义，那么要求出某一个函数的n阶导数，我们要先知道它的n - 1阶导数。
这也是求高阶导数最直接的方法。

e^x的n阶导数：
因为e^x的每一阶导数都是
e^x自己，所以它的n阶导数可以表示成: e^x

同理我们还可以求出sinx, lnx的n阶导数，这个要熟练：

高阶导数莱布尼茨公式：（可以求两个乘积形式的高阶导数）

公式形式类似于二项式定理