MPC与LQR的详细对比分析
从以下几个方面进行阐述：
一，研究对象：是否线性
二，状态方程：离散化
三，目标函数：误差和控制量的极小值
四，工作时域：预测时域，控制时域，滚动优化，求解一次
五，求解方法：QP求解器，变分法求解黎卡提方程
六，LQR和MPC的优缺点：滚动优化，求解时域，实时性，算力，工程常用方法
一， 研究对象:是否线性
MPC：线性和非线性系统均可
LQR：线性系统
非线性系统 
通过泰勒展开的方法进行近似离散化为线性系统：
其中x 为状态的误差， u为控制量
二， 状态方程：离散化
**MPC：**1，对非线性的状态方程进行线性化。2，对线性方程进行离散化
**LQR：**对线性系统就行离散化
连续的线性系统：
离散化：通过前向欧拉方法进行离散化。
整理后得：
为方便描述将离散后的方程记为：
三， 目标函数：求误差和控制量极小值
LQR目标函数一个是积分，MPC目标函数一个是累计和，本质都是对代价的累计。
当系统对终端状态要求极为严格时，目标函数会加一项终端代价函数，一般情况下该项省略。终端代码为：
四， 求解方法：QP求解器工具，变分法求黎卡提方程
**MPC：**转化为二次规划问题，利用求解器进行求解，生成控制序列 。
**LQR：**采用变分法，通过求解黎卡提方程进行逼近，最终获取控制序列 。
五， 工作时域：预测时域，控制时域，滚动优化，求解一次
MPC：是求解预测时间段Np内的控制序列 ，并在下个周期后进行滚动优化，每次只需控制序列的第一个值作为控制的输入。为了提高速度，可只计算控制时间段Nc 内的控制序列，时间段（Np-Nc）内的控制量均取Nc-1处的值即可，因为每次只取第一个控制量作为输入即可。
**LQR：**求解预测时间段内的控制序列 ，只求解一次，每个周期下取对应的控制量即可，而不考虑之前周期下实际与规划的误差。
六，LQR和MPC的优缺点：滚动优化，求解时域，实时性，工程常用的方法
LQR缺点：
1，LQR不滚动优化，预测时间段内的控制序列只求解一次，没有考虑实际与规划的误差。
2，LQR求解整个预测时域内的控制序列，而MPC可在更小的时间窗口中求解优化问题，获得次优解，可大大提升求解速度。
3，无约束，假设对控制量无约束。
**MPC缺点：**计算量大，实时性差，对于算力要求高，硬件成本较高，
但两者控制效果相差不大，故工程上横向控制常使用LQR。
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