预测美国人口

此示例说明，即使使用次数最适中的多项式外插数据也是有风险且不可靠的。

此示例比 MATLAB® 出现得更早。该示例最初作为一个练习出现在 Forsythe、Malcolm 和 Moler 合著的《Computer Methods for Mathematical Computations》一书中，该书由出版商 Prentice-Hall 在 1977 年出版。

现在，通过 MATLAB 可以更容易地改变参数和查看结果，但基础数学原理未变。

使用 1910 年至 2000 年的美国人口普查数据创建并绘制两个向量。

% Time interval

t = (1910:10:2000)';

% Population

p = [91.972 105.711 123.203 131.669 150.697...

179.323 203.212 226.505 249.633 281.422]';

% Plot

plot(t,p,'bo');

axis([1910 2020 0 400]);

title('Population of the U.S. 1910-2000');

ylabel('Millions');

那么猜想一下 2010 年美国的人口是多少？

p

p = 10×1

91.9720

105.7110

123.2030

131.6690

150.6970

179.3230

203.2120

226.5050

249.6330

281.4220

将这些数据与 t 中的一个多项式拟合，并使用它将人口数外插到 t = 2010。通过对包含 Vandermonde 矩阵的线性方程组求解来获得多项式中的系数，该矩阵为 11×11，其元素为缩放时间的幂，即 A(i,j) = s(i)^(n-j)。

n = length(t);

s = (t-1950)/50;

A = zeros(n);

A(:,end) = 1;

for j = n-1:-1:1

A(:,j) = s .* A(:,j+1);

end

通过对包含 Vandermonde 矩阵最后 d+1 列的线性方程组求解，获得与数据 p 拟合的 d 次多项式的系数 c：

A(:,n-d:n)*c ~= p

如果 d < 10，则方程个数多于未知数个数，并且最小二乘解是合适的。

如果 d == 10，则可以精确求解方程，而多项式实际上会对数据进行插值。

在任一种情况下，都可以使用反斜杠运算符来求解方程组。三次拟合的系数为：

c = A(:,n-3:n)\p

c = 4×1

-5.7042

27.9064

103.1528

155.1017

现在，计算从 1910 年到 2010 年每一年的多项式，然后绘制结果。

v = (1910:2020)';

x = (v-1950)/50;

w = (2010-1950)/50;

y = polyval(c,x);

z = polyval(c,w);

hold on

plot(v,y,'k-');

plot(2010,z,'ks');

text(2010,z+15,num2str(z));

hold off

将三次拟合与四次拟合进行比较。请注意，外插点完全不同。

c = A(:,n-4:n)\p;

y = polyval(c,x);

z = polyval(c,w);

hold on

plot(v,y,'k-');

plot(2010,z,'ks');

text(2010,z-15,num2str(z));

hold off

随着阶数增加，外插变得越来越不可靠。

cla

plot(t,p,'bo')

hold on

axis([1910 2020 0 400])

colors = hsv(8);

labels = {'data'};

for d = 1:8

[Q,R] = qr(A(:,n-d:n));

R = R(1:d+1,:);

Q = Q(:,1:d+1);

c = R\(Q'*p); % Same as c = A(:,n-d:n)\p;

y = polyval(c,x);

z = polyval(c,11);

plot(v,y,'color',colors(d,:));

labels{end+1} = ['degree = ' int2str(d)];

end

legend(labels, 'Location', 'NorthWest')

hold off

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