DTOJ#5208. 蓝buff一吃就起飞

传送门

马老师打算起飞。

一个长度为 2n(2n\ (2n (可能有前缀0)0)0) 的非负整数 xxx 是 goodgoodgood 的，当且仅当存在两个长度为 n(n\ (n (可能有前缀0)0)0) 的非负整数 a、ba、ba、b 满足 a+b=10na+ b =10 ^ na+b=10n，并且对于 0∼90\sim90∼9 每个数位 ddd，都有 Sd(x)=Sd(a)+Sd(b)(Sd(x)Sd(x) = Sd(a) + Sd(b)(Sd(x)Sd(x)=Sd(a)+Sd(b)(Sd(x)为 xxx 的十进制中 ddd 出现了多少次)))。例如 082908290829 是 goodgoodgood 的，98+02=10098 + 02 = 10098+02=100 。

给出一个长度为 2n2n2n 的序列，其中有些位置是问号。将每个问好替换为 0∼90 \sim 90∼9 任意一个数位后，有多少个 goodgoodgood 数，答案对 100000000710000000071000000007 取模。

一行长度为 2n2n2n 的字符串，由 0∼90 \sim 90∼9 和 ??? 构成。

一个整数表示答案。

样例输入

2?4?

样例输出

设 mmm 为 ??? 的个数。

对于 30%30\%30% 的数据，n≤6n \leq 6n≤6 。

对于另外 30%30\%30% 的数据， m≤6m \leq 6m≤6 。

对于 100%100\%100% 的数据， n≤50000,m≤1000n \leq 50000,m \leq 1000n≤50000,m≤1000 。

题解：
注意到，设 aaa 的十进制为 a1a2a3…ana_1a_2a_3\dots a_na1a2a3…an ， bbb 为 b1b2b3…bnb_1b_2b_3\dots b_nb1b2b3…bn，那么必定是 a1+b1=9a_1+b_1=9a1+b1=9,a2+b2=9a_2+b_2=9a2+b2=9,ak+bk=10a_k+b_k=10ak+bk=10,ak+1+bk+1=0…an+bn=0a_{k+1}+b_{k+1}=0\dots a_n+b_n=0ak+1+bk+1=0…an+bn=0。
于是考虑枚举 ak,bka_k,b_kak,bk，然后贪心先配已知的和为十，然后枚举和为十的数对 DPDPDP。
注意考虑0+90+90+9和0+00+00+0，当剩余的数个数是奇数时，多的位可以填 000 或 999 ，但填 999 时不能有0+00+00+0 出现，因为会算重。

#include<bits/stdc++.h>
#define N 50005
#define M 1005
using namespace std;
const int mod=1000000007;
int read(){int op=1,sum=0;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') op=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9') sum=(sum<<3)+(sum<<1)+ch-'0',ch=getchar();return op*sum;
}
int jc[N],jcinv[N];
inline int power(int x,int c){int now=1;while(c){if(c&1)now=1ll*now*x%mod;x=1ll*x*x%mod;c>>=1;}return now;
}
inline void init(int n){jc[0]=1;for(int i=1;i<=n;++i)jc[i]=1ll*jc[i-1]*i%mod;jcinv[n]=power(jc[n],mod-2);for(int i=n-1;i+1;--i)jcinv[i]=1ll*jcinv[i+1]*(i+1)%mod;
}
inline int C(int x,int y){if(x<y||y<0)return 0;return 1ll*jc[x]*jcinv[y]%mod*jcinv[x-y]%mod;
}
char s[N<<1];
int cnt[11],res,pre[11],cal[11],f[M],g[M],tmp[M];
int dx[]={1,2,3,4};
int dy[]={8,7,6,5};
int main(){//   freopen("data.in","r",stdin);
//  freopen("eatbuff.in","r",stdin);
//  freopen("eatbuff.out","w",stdout); init(M-2);scanf("%s",1+s);int n=strlen(1+s);for(int i=1;i<=n;++i){if(s[i]=='?'){++res;continue;}pre[s[i]-'0']++;}int ans=0,num=res;for(int t=1;t<=5;++t){res=num;memset(cal,0,sizeof(cal));for(int j=0;j<10;++j)cnt[j]=pre[j];cnt[t]--,cnt[10-t]--;if(cnt[t]<0){cal[t]++;cnt[t]++;res--;}if(cnt[10-t]<0){cal[10-t]++;cnt[10-t]++;res--;}for(int j=0;j<=4;++j){int now=min(cnt[j],cnt[9-j]);cnt[j]-=now,cnt[9-j]-=now;}for(int j=1;j<=9;++j){if(cnt[j]){cal[9-j]+=cnt[j],res-=cnt[j];}}if(res<0)continue;memset(tmp,0,sizeof(tmp));if(res&1){res>>=1;cal[0]++;for(int i=0;i<=res;++i){//0 0for(int j=0;j+i<=res;++j){//0 9tmp[i+j]=(tmp[i+j]+1ll*jcinv[cal[0]+2*i+j]*jcinv[cal[9]+j]%mod)%mod;}}cal[0]--;cal[9]++;for(int j=0;j<=res;++j){tmp[j]=(tmp[j]+1ll*jcinv[cal[0]+j]*jcinv[cal[9]+j]%mod)%mod;}cal[9]--;res=(res<<1)|1;}else{res>>=1;for(int i=0;i<=res;++i){//0 0for(int j=0;j+i<=res;++j){//0 9tmp[i+j]=(tmp[i+j]+1ll*jcinv[cal[0]+2*i+j]*jcinv[cal[9]+j]%mod)%mod;}}res<<=1;}if(res&1)cal[9]++,cnt[0]--;res>>=1;for(int i=1;2*i<=cnt[0];++i){// 9 9for(int j=0;j+i<=res;++j){// 0 9tmp[i+j]=(tmp[i+j]+1ll*jcinv[cal[0]+j]*jcinv[cal[9]+2*i+j]%mod)%mod;}}memset(f,0,sizeof(f));f[0]=1;for(int t=0;t<4;++t){memset(g,0,sizeof(g));for(int i=0;i<=res;++i){for(int j=0;j<=i;++j){g[i]=(g[i]+1ll*f[j]*jcinv[cal[dx[t]]+i-j]%mod*jcinv[cal[dy[t]]+i-j]%mod)%mod;}}for(int i=0;i<=res;++i){f[i]=g[i];}}int pre=ans;for(int i=0;i<=res;++i){ans=(ans+1ll*f[i]*tmp[res-i]%mod)%mod;}}ans=1ll*ans*jc[num]%mod;printf("%d\n",(ans+mod)%mod);return 0;
}