HHT变换基本理论

一、希尔伯特黄变换的基础理论

希尔伯特黄变换是1998年由NordenEHuang等人提出的一种信号分析方法。它是一种能够有效分析线性/非线性,平稳/非平稳信号的时频分析方法。它的核心是经验模态分解(简称EMD)和希尔伯特变换(简称HT),前者是信号分解(或者信号变换)方法,后者是信号分析(谱分析)方法[l]。在本章节中,将对这两个重要步骤进行详细的说明。考虑到信号分析理论的完整性和不同分析方法之间的差异,也为了第3章中一些新理论的需要,对傅立叶变换、小波变换理论和WVD分布等信号分析方法也作了简单的介绍。

.1傅立叶信号分析

傅立叶信号分析主要包括两个部分:傅立叶级数和傅立叶变换。在傅立叶信号分析理论中,“任何”周期信号都可以用成谐波关系的正弦级数来表示;而非周期信号表示成不全成谐波关系的正弦信号的加权积分,即傅立叶积分(变换)。

周期信号x(t)存在一个傅立叶级数表示式(2-1),傅立叶级数中的系数由公式(2-2)确定。这一关系式就定义为傅立叶级数。

(2-1)

(2-2)

其中，T0为基波周期，是满足x(t)=x(t+T)中T的最小非零正值；

为基波角频率。

非周期信号的傅立叶变换（傅立叶积分）与傅立叶反变换一起被称为傅立叶变换对，

表示如下:

（2-3）

（2-4）

传统的傅立叶频谱分析方法将信号表示从时间空间变换到频率空间,能够表示信号全局的能量一频率分布。因此,通常谈论到频谱特征,总是习惯的和信号的傅立叶变换联系在一起。然而应用傅立叶变换必须注意到一些严格限制的条件:系统必须是线性的;数据必须满足周期性或者是广义平稳的;否则,用傅立叶变换分析这样的信号就无法得到具有实际物理意义的结果。

Noulen E Huang在他的论文中提到[1]不论来自物理测量还是数学模型所得到的信号,都有可能面临下列一个或几个问题:(1)总的信号长度太短;(2)信号是非平稳的;(3)信号代表着非线性过程。其中上面的前两个问题是相关的,如果信号的长度比平稳过程的最大时间区间(或者说最大时间长度)小的话,将表现出非平稳性,而在自然界,我们面临的大部分现象都是短暂的,所以非平稳性是普遍存在的。此外,由于探针、量化等非线性因素,实验中得到的数据极有可能是非线性的。

到了近代,所研究的信号更普遍,更贴近实际生活:比如像心音信号,语音信号,地震信号,机械振动信号,图像信号,那么采用非平稳随机信号模型将更加合理。为了对这类非线性非平稳信号进行有效的分析和处理,相继诞生了不同的时频分析方法。

.2时频分析方法回顾

时频分析方法的提出主要是为了对非线性非平稳信号进行有效的信号分析,从而得到信号在局部时间上的频率信息,即频率随时间的变化情况。

(l)短时Fourier变换

常规Fourier分析属于稳态分析方法,只能反映信号的静态频谱特性。短时Fourier变换则将非平稳信号假定为分段平稳的,通过采用一个滑动窗截取信号,一次次地对截得的信号进行Fourier变换,从而得到任意时刻信号x(t)的频谱:

（2-5）

其中h(t)为窗函数,因而上式中有效的积分区间实际上是有限的。与此对应的能量密度谱,即spectrogram(简写成SPEC):SPEC（t,f)=|STFT(t,f)|2, 它反映了信号的动态时频谱分布。

短时傅立叶变换公式表示:在时间轴上移动窗函数,就能够对信号x(t)连续的做“局部谱”分析,了解其频率变化规律。如图2.1所示即为一个变频信号的时频分布图。

图1 一个变频信号的频谱图

STFT时频表示的时间分辨力和频率分辨力是相互矛盾的,不可能在时间和频率两个方向同时获得高的分辨力。因此,STFT对非平稳信号的分析难以满足要求。然而由于STFT可以利用快速Fourier变换(FFT)实现,因此获得了广泛的注意力。这种时频联合分布在语音学,语音信号处理领域中发挥了巨大的作用,而且推广到雷达、声纳、地震、地质信号处理领域,获得了广泛的应用。

(2)小波分析

基于小波变换的时频表示的基本思想是:认为自然界各种信号中频率高低不同的分量具有不同的时变特性,通常是较低频率成分的频谱特征随时间的变化比较缓慢,较高频率成分的频谱特征则变化比较迅速。因此,按这样的规律非均匀地划分时间轴和频率轴,就能获得比较合适的时间和频率分辨力,从而在一定程度上克服了STFT的时间和频率分辨力不能兼顾的弱点。小波变换和STFT是两类非常重要的线性时频表示方法,这两类方法在数学表达式和性质上有许多相似之处。

也是信号的一种广义时频表示形式。

图2连续小波变换的例子

同STFT一样,小波变换的小波基函数Ψ(t)的频域变换

可以解释为中心频率为f0的带通滤波器。通过改变平移参数,得到一滤波器组,信号通过这一滤波器组,便可获得小波分解系数。通过改变尺度参数,中心频率发生平移,从而能够对更低频率的信号成分进行分析。正是由于这种不断改变中心频率的行为,使得小波变换能够对信号的不同频率成分进行分析,达到逐渐精细的目的。小波变换的这种多尺度特性或者多分辨率特性,使得小波变换被誉称为“数学显微镜”。

虽然小波变换得到了足够的重视和广泛的应用,但也有一些难以克服的缺点。在短时Fourier分析中,有唯一的基函数,因此对不同的信号没有适应性,这就影响了它分析信号的能力。而在小波变换中,可以根据需要构造不同的小波基,正是由于有不同的小波基可供选择,使得小波变换对信号分析有足够的适应性,能够满足不同应用领域的要求。我们可以从信号的全局出发,根据一定的准则,构造或者选择最佳的小波基。但是在小波变换中,小波基一经选择,在整个分解和重构过程中都无法更换,因此有可能该小波基在全局上是最佳的,但对某个局部区域来说却是最差的。由于小波基对信号的局部并没有适用性,对某一信号,依据什么原则,用什么判据选择小波基,目前在理论上和实际应用上都还是一个难点。目前在工程上影响小波变换应用的一个重要原因就是小波基的选择,不同的小波基具有不同的性质,对信号的分析能力也不同,对同一信号采用不同的小波基得到的结果基本没有可比性。

(3)Wigner-Ville分布[1,2]

由于自然界及工程领域中大量存在着非平稳信号,而Fourier谱分析及STFT方法都难以满足应用,人们非常希望有一种同时具有高的时间和频率分辨力的时频联合分布。努力设计高时频分辨力的时频联合分布是主要的研究方向。1932年E.P.wigner在量子力学研究中提出了wigner分布(简称wD),信号s(t)的WD定义为:

（2-9）

这是一种二次时频分布(即信号在变换中被使用了两次)。WD可以理解为信号s(t)的中心协方差函数

的Fourier变换，即：

。

Wigner分布要求对信号过采样,且容易产生畸变,因此很少使用。在上个世纪的40年代J.Ville用s(t)的解析信号x(t)代替wigner分布定义中的实信号,发明了wiger-Ville分布:

（2-10）

并且将其引入到信号处理领域。

图3线性调频信号的Wigner-Ville分布

Wigner-Ville分布是分析非平稳时变信号的重要工具,在一定程度上解决了短时Fourier变换存在的问题。Wigner-VIlle分布的重要特点之一是具有明确的物理意义,它可被看作信号能量在时域和频域中的分布。但是Wigner-Ville分布还存在一些问题,WVD不能保证非负性,而且对多分量信号,会产生严重的交叉干扰,使其谱分布难以解释,严重限制了它的广泛应用。注:1966年Cohen总结了改进过的多种WVD分布,发现它们与原Winger-Ville分布的差别仅在核函数的不同,从而提出了Cohen类时频分布。

上面介绍的三种方法都是被设计来修正Fourier分析的。分析表明作为非线性非平稳时间序列的分析方法,一般应该满足下列条件:(a)完备性、(b)正交性、(c)局部性和(d)自适应性。

第一个条件保证了信号分解的精度要求;第二个条件保证了能量的非负性,并且能够避免能量的泄漏;局部性要求对非平稳信号是非常重要的,由于非平稳信号不存在周期性,所有的事件都必须通过发生时刻确定,所以要求幅值(能量)和频率都是时间的函数。对于非线性现象,自适应性具有特殊的意义,我们不能期待有一个预定义的基函数满足所有的物理性质,一种最方便的办法就是通过信号本身产生所需要的自适应基函数。

说明:关于二进小波,小波包,提升小波,Garb展开和Garb变换Radon-wigner分布和分数阶傅立叶变换,自适应参数法等时频分析方法可以参考相关资料,在本文不再赘述。

3希尔伯特黄变换理论的提出

回溯信号分析方法的整个发展历程可以发现,不同的信号分析方法总是为了满足人们对不同类型信号的不同特征的兴趣。对于平稳的线性信号或者周期信号,可以采用傅立叶变换等频域变换的方法得到关于信号全局上的频谱信息;对于非平稳的或者非线性信号,人们对于信号局部的频谱特征更加感兴趣,相应的必须采用时频分析方法得到信号的时频联合信息,比如短时傅立叶变换(STFT),小波变换(Wavelet)和wigner-Ville分布(WVD)。

从第2节的介绍不难看出,大多数时频分析方法都是直接针对变化的频率提出的,而且还可以看出几乎所有这些时频分析方法都以傅立叶变换为最终理论依据,都采用积分分析法。归纳这些由傅立叶分析理论(演变)得来的时频分析,按导出方式主要可分为三类,一是直接对傅立叶变换的基函数进行改造,如Radon变换,分数阶傅立叶变换和小波变换等;二是先由信号得到一个双线性函数,再进行傅立叶变换如Winge-Ville分布等;三是先对信号加窗,再进行傅立叶变换,如STFT和Gabor变换等。第一类时频分析方法一般只适于某类信号,如Radon变换适于分析线调频信号,而小波变换适于分析具有自相似结构的信号;第二类时频分析方法一般会造成交叉项的困扰;第三类时频分析方法通常需假设信号是局部平稳的。这三类时频分析方法的共同缺点是:因为它们都是基于傅立叶分析理论的,因而也受傅立叶分析不足的制约。傅立叶分析理论是将信号分解成无始无终的正弦信号的加权和,当信号是仅由几个正弦信号组成时,用傅立叶分析比较理想。但如果信号极不规则,用傅立叶分析就需要许许多多的正弦信号来拼凑,因而容易带来虚假的正弦信号和假频现象。将基于傅立叶分析理论的时频分析方法用于一般的非线性非平稳信号时,也会出现虚假信号和假频问题,如Winger-Ville分布会有交叉项,小波分解会明显出现多余信号等。

总之,由于基于傅立叶分析理论的时频分析方法的基函数是比较固定的,缺乏自适应性或自适应性差,在表示信号时都容易出现多余信号。即使是波形匹配追踪法和Chirplet变换之类的自适应参数时频分析方法,由于它们基函数的母函数是固定的,因而它们的自适应性也很有限,且计算复杂以致目前还很少实例展示。受Heisenberg不确定原理的限制,这些时频分析方法也不能精确描述频率随时间的变化。虽然有时也可以通过时频分布估计瞬时频率,但因为这些时频分布已经遭受了局限,所以其依据含糊,难以有真正的说服力。

理想地,为了精确描述频率随时间的变化,需要一种自适应比较好,直观的瞬时频率分析方法。1998年Noulen E Huang提出了希尔伯特黄变换理论(简称HHT)。在这个理论中,通过经验模态分解EMD将信号自适应得分解成有限多个内在模分量砚F和一个表征信号趋势变化的残余信号,并且提出对得到的各个IMF运用希尔伯特变换进行时频分析[1,10,12,34].

3.1 经验模态分解EMD

(2-11)

.3.2希尔伯特变换